[Back]


Doctor's Theses (authored and supervised):

D. Praetorius:
"Analysis, Numerik und Simulation eines relaxierten Modellproblems zum Mikromagnetismus";
Supervisor, Reviewer: C. Carstensen, R. Hoppe; Institut für Angewandte und Numerische Mathematik, 2003.



German abstract:
Das Verst"andnis mikromagnetischer Ph"anomene und Prozesse
gewinnt zunehmend an Bedeutung als Schl"usseltechnologie in
unserer Informationsgesellschaft. Ferromagnetische Materialien sind
wichtiger Bestandteil in vielf"altigen modernen Anwendungen, u.a. in
magnetischen Sensoren oder Speichermedien.
Mit dem technischen Fortschritt geht auch ein Interesse und Bedarf an
zuverl"assigen Simulationen mikromagnetischer Ph"anomene einher.

\medskip

Allgemein anerkannte Grundlage aller
quantitativen numerischen
Simulationen ist das Modell von {\sc Landau} und {\sc Lifshitz}, bei dem die
Gesamtenergie
\begin{align}\label{einleitung1k}
E(\m):=\alpha\int_{\Omega}|\nabla\m(x)|^2\,dx+\int_\Omega\phi\big(\m(x)\big)\,dx
-\int_\Omega\f(x)\cdot\m(x)\,dx+\frac12\int_{\R^d}|\HHH(x)|^2\,dx
\end{align}
"uber Magnetisierungen $\m:\Omega\to\R^d$ zu minimieren ist, die die
nicht-konvexe Nebenbedingung $|\m|=1$ fast "uberall erf"ullen. Die
Gesamtenergie ist die Summe von vier Gebietsintegralen, die als
{\em Austauschenergie}, {\em anisotrope Energie}, {\em "au"sere Energie} und
{\em Streufeldenergie} bezeichnet werden.
Die Anisotropiedichte $\phi:\R^d\to\R_{\ge0}$ modelliert Materialeigenschaften
auf kristalliner Ebene, $\f:\Omega\to\R^d$ beschreibt ein angelegtes
\"au"seres Feld, und das {\em Streufeld} $\HHH:\R^d\to\R^d$ ist mit $\m$
"uber die {\em Maxwellschen Gleichungen} gekoppelt.

\medskip

Aufgrund der beschr"ankten Rechnerkapazit"aten -- auch bei modernen
Rechnern -- mu"s man bei der Simulation eines makroskopischen K"orpers $\Omega$
zun"achst den singul"aren Limesfall $\alpha=0$ betrachten und dann aus dieser
Kenntnis heraus robuste Verfahren konstruieren.
Das Modell bedarf einer Relaxierung, um die L"osbarkeit zu garantieren. Eine
Relaxierung durch Konvexifizierung f"uhrt auf das folgende Problem:
Man finde eine Magnetisierung $\m\in L^2(\Omega;\R^d)$ und
einen Lagrange-Multiplikator $\lambda\in L^2(\Omega)$ derart, da"s fast
"uberall in $\Omega$ gilt
\begin{align}\label{einleitung9k}
% \left.
\begin{array}{l}
\nabla u+D\phi^{**}(\m)+\lambda\m=\f,\\
|\m|\le1,\quad\lambda\ge0,\quad\lambda(1-|\m|)=0.
\end{array}
% \right\}\fu\Omega,
\end{align}
Dabei ist $\phi^{**}$ die Konvexifizierung von $\phi$, und das Streufeld
$-\nabla u=\HHH\in L^2(\R^d;\R^d)$ ist L"osung von
\begin{align}\label{einleitung9ak}
\dual{-\nabla u+\m}{\nabla v}_{L^2(\R^d;\R^d)}=0\fa v\in\DD(\R^d).
\end{align}
Die numerische Simulation steht vor drei Schwierigkeiten: Zum einen ist
die Magnetisierung $\m$ {\em geeignet} zu diskretisieren, zweitens ist die
konvexe Nebenbedingung $|\m(x)|\le1$ numerisch zu realisieren, und drittens ist
f"ur jedes diskrete $\m_h$ die Gleichung \reff{einleitung9ak} im {\em Vollraum}
zu l"osen, und dies involviert einen nicht-lokalen Integraloperator $\LL$.
In der vorliegenden Arbeit werden zun"achst die analytischen Eigenschaften
dieses Operators untersucht und diese Kenntnis bei der Diskretisierung von $\m$
eingebracht: Es wird vorgeschlagen, die Magnetisierung $\m_h$
in einem $L^2$-Galerkin-Verfahren st"uckweise
konstant anzusetzen und die Nebenbedingung durch Penalisierung zu
ber"ucksichtigen. Dieses Vorgehen wird durch die entsprechende a priori
Analysis gerechtfertigt. Die L"osung $\nabla u_h$ von \reff{einleitung9ak} kann
f"ur gegebenes diskretes $\m_h$ exakt berechnet werden.
Adaptive Algorithmen zur numerischen Simulation des konvexifizierten Modells
werden vorgestellt und durch a~posteriori Fehleranalysis
mathematisch fundiert. Dies erlaubt eine durch Indikatoren gesteuerte adaptive
Netzverfeinerung. Der Aufbau der ben"otigten Daten -- im wesentlichen
zur Berechnung von $\nabla u_h$ sowie der Verfeinerungsindikatoren -- wird
durch hierarchische Matrizen und {\em panel clustering} effizient
realisiert. Schlie"slich werden die erzielten Resultate
anhand von numerischen Experimenten f"ur $d=2,3$ best"atigt. Dabei werden
uni\-achsiale Materialien wie z.B. Kobalt betrachtet, die besonders in
Speichermedien ihre Anwendung finden, weil ihre Magnetisierung "`stark"',
d.h. gegen"uber wechselnden "au"seren Feldern relativ stabil ist.


Electronic version of the publication:
http://www.asc.tuwien.ac.at/~dirk/download/thesis/phd/praetorius2003.pdf


Created from the Publication Database of the Vienna University of Technology.