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W. Hojka:
"Kleben entlang profiniter Räume";
Supervisor: W. Herfort; Analysis und Scientific Computing, 2004.

Die Arbeit entstand aus dem Bemühen, den Satz von van-Kampen über die
Berechnung der Fundamentalgruppe (FG) entlang offener Mengen amalgamierter topologischer Räume allgemeiner zu fassen. Ausgangspunkt war dabei das Beispiel des Hawaianischen Ohrrings (HO), bei dem abzählbar unendlich viele Kreise mit gegen Null konvergenten Radien in einem Punkt verklebt werden und eine Berechnungsmethode für die FG im engeren Sinne von van-Kampen nicht funktioniert. Die Gruppe des HO ist etwa in einer Arbeit von Morgan und Morrison (MM) bestimmt worden. Ausgehend von dieser Arbeit ist es W. Hojka gelungen, die Gruppe einer entlang eines endlichen (allgemeiner profiniten) Teilraumes amalgamierten Familie R_i von Räumen zu beschreiben, und wo in ähnlicher Weise wie beim HO die Lage der Räume R_i bezüglich des profiniten Raumes in der Topologie des geklebten Raumes berücksichtigt werden. Der geklebte Raum erweist sich als projektiver Limes von endlich vielen an endlich vielen Stellen geklebten Räumen R_i und entsprechend gelingt es W. Hojka, auch die FG als Untergruppe des projektiven Limes der FG der Räume R_i zu kennzeichnen. Um dies zu leisten, führt er eine Wortalgebra (ein Gruppoid) ein. Er zeigt, daß nur jene Wörter in der FG liegen, deren Bilder zu Klassen gehören, für die geeignete Wegerepräsentanten in den R_i insgesamt nur beschränkt oft zwischen Klebestellen wechseln. Die Beweismethoden lehnen sich nur zum Teil an jene bei MM an. Neu ist sowohl die Invariante, welche angibt, wie oft zwischen Klebestellen gewechselt wird, beziehungsweise daß man es mit Fundamentalgruppoiden (man klebt entlang eines total unzusammenhängenden Raumes) zu tun hat (die Wortalgebra ist wesentlich komplizierter als bei MM). Neu ist natürlich auch der Begriff des Klebeschemas, der die Beschreibungen mittels projektiver Limiten ermöglicht. M.E. technisch viel aufwendiger als im Falle der an einem Punkt verklebten Räume des HO sind vor allem jene Beweise, welche die Existenz jener Homotopien sichern, welche die zitierte Wortalgebra und technische Einschränkung an die Wörter als ausreichend für die Beschreibung der FG nachweisen. Eine der auch in MM Homotopien hat W. Hojka durch eine vereinfachte und sehr elegante Version ersetzen können.