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P. Wissgott:
"A Space-Time Adaptive Algorithm for Linear Parabolic Problems";
Supervisor: D. Praetorius; Institut für Analysis und Scientific Computing, 2007.

The scope of this work is to develop a space-time adaptive algorithm
to solve linear parabolic problems numerically. We stress that the
coefficients of the linear equation may depend on space and time
themselves.

Starting with the presentation of the mathematical tools required
for the analysis, we discretize the continuous parabolic equation
with the method of lines. For the time discretization, we use the
backward Euler scheme. The spatial discretization is done by a
conforming P1 finite element method.

Following a work by Verfuerth, we derive a residual-based a
posteriori error estimator which provides upper and lower bounds of
the error measured in the energy norm.

One main goal of this work was the development of an adaptive
algorithm, which controls and steers the time step size as well as
spatial mesh size automatically. In particular, we present a
strategy, where the mesh may be refined and/or coarsened for
consequent time steps. The implementation is done in MATLAB.
Throughout, the focus in on efficient implementation which is
achieved by use of MATLAB's vectorization and avoidance of loops as
far as this is possible.

Finally, we test the developed algorithm on certain numerical
experiments. There, the proposed adaptive algorithm empirically
proves to be superior to uniform strategies.

In der vorliegenden Arbeit werden modellhaft lineare parabolische
Differentialgleichungen mit zeit- und ortsabhängigen Koeffizienten
betrachtet. Solche Probleme treten z.B. bei der Berechnung von
Temperaturverteilungen durch Wärmeleitung auf. Auch die Ausbreitung
von Verunreinigungen in Grundwasser lässt sich analog modellieren.

Zunächst wird der mathematische Rahmen für die Analysis elliptischer
und parabolischer Differentialgleichungen wiederholt. Die
Diskretisierung der kontinuierlichen parabolischen Gleichung erfolgt
mit Hilfe der Linienmethode. Wir verwenden das implizite
Euler-Verfahren in der Zeit und eine konforme P^1-Finite Elemente
Methode im Ort. Ausgehend von einer Arbeit von Verfürth für
parabolische Gleichungen mit konstanten Koeffizienten leiten
wir eine residuale a posteriori Fehlerabschätzung für Probleme mit
zeit- und ortsabhängigen Koeffizienten her, die den Gesamtfehler zu
einem Zeitpunkt T>0 in der Energienorm des Problems zuverlässig und
effizient schätzt.

Eine wesentliche Aufgabe der Arbeit war die Umsetzung der
hergeleiteten Fehlerabschätzung in Form eines adaptiven Algorithmus
zur numerischen Lösung linearer parabolischer Gleichungen. Dabei
werden im Lösungsprozess sowohl die Zeitschrittweite als auch die
lokale Netzweite der Ortsdiskretisierung selbstständig und
unabhängig voneinander an eine vorgegebene Toleranz angepasst. Dabei
verwenden wir die Heuristik, dass die räumlichen und zeitlichen
Beiträge des Residuums unabhängig voneinander sind. Die entwickelte
adaptive Strategie erlaubt insbesondere die Verfeinerung und
Vergröberung des Netzes in aufeinanderfolgenden Zeitschritten. Die
Implementierung des adaptiven Algorithmus erfolgt in MATLAB. Bei der
Realisierung wird darauf geachtet, MATLABs effiziente Vektorrechnung
möglichst weitgehend auszunützen. Speziell werden alle auftretenden
Matrizen vektorisiert und insbesondere ohne Verwendung von Schleifen
assembliert.

Abschließend testen wir den vorgestellten Algorithmus in numerischen
Experimenten. Dabei zeigt sich, dass die adaptive Strategie auch in
praktischen Beispielen einer uniformen Strategie weit überlegen ist.