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S. Ferraz-Leite:
"A Posteriori Fehlerschätzer für die Symmsche Integralgleichung in 3D";
Supervisor: D. Praetorius; Institut für Analysis und Scientific Computing, 2007.

Anders als in der FEM ist die a~posteriori Fehlerschätzung in der
BEM wesentlich weniger gut verstanden. Diese Arbeit liefert einen
Beitrag zur mathematischen Herleitung von a~posteriori
Fehlerschätzern für die Galerkin-BEM der schwach singulären
Integralgleichung zum Laplace-Operator. Diese sogenannte Symmsche
Integralgleichung ist äquivalent zum Laplace-Problem mit reinen
Dirichlet-Randbedingungen. Die erzielten Resultate übertragen sich
aber wörtlich von der Laplace- auch auf die Lam\'e- und die
Stokes-Gleichung.

Im Wesentlichen betrachten wir zwei Strategien zur a~posteriori
Fehlerschätzung: Zum einen die klassische (h-h/2)-Strategie, zum
anderen eine Glättungsstrategie. Bei der (h-h/2)-Strategie berechnet
man neben der Lösung \phi_h zu einer gegebenen Triangulierung
\T_h des Randes auch die Lösung \phi_{h/2} zur uniformen
Verfeinerung von \T_h. Die Energienorm

\eta_H=||\phi_{h/2}-\phi_h||


der Differenz beider diskreter Lösungen kann dann als Fehlerschätzer
dienen. Wir beweisen die Effizienz des Fehlerschätzers \eta_H in dem
Sinn, dass stets

\eta_H \le ||\phi-\phi_h||

gilt, wobei \phi die unbekannte exakte Lösung bezeichne. Unter der
Saturationsannahme beweisen wir die Existenz einer Konstante C>0 mit

||\phi-\phi_h|| \leq C \eta_H.

Eine solche Abschätzung bezeichnet man als Zuverlässigkeit, da die
Konvergenz des Schätzers gegen Null, die Konvergenz des Verfahrens
impliziert. In numerischen Beispielen wird die Saturationsannahme
experimentell überprüft und bestätigt.

Lokalisierungstechniken mittels gewichteter L^2-Normen erlauben die
mathematische Herleitung von lokalen Verfeinerungsindikatoren zur
Steuerung einer adaptiven Netzverfeinerung. Das bisherige Fehlen
solcher Lokalisierungstechniken ist offenbar der Grund, dass dieser
elementare und im Kontext gewöhnlicher Differentialgleichungen
wohlbekannte Ansatz in der Literatur zur BEM bisher noch nicht
berücksichtigt worden ist.

Bei der Darstellung der Glättungstechnik folgen wir der Arbeit
[Carstensen/Praetorius SISC 2006}, die unter vergleichsweise starken
Voraussetzungen die Zuverlässigkeit und Effizienz des
Glättungsschätzers \eta_M zur Fehlerschätzung von

||\phi-\phi_{h/2}||

zeigt. Ein überraschendes Resultat und ein neuer Beitrag dieser
Arbeit ist, dass \eta_M stets äquivalent zum (h-h/2)-Fehlerschätzer
\eta_H ist. Dies impliziert nämlich eine wesentliche Abschwächung
der Voraussetzungen zum Ergebnis in [Carstensen/Praetorius SISC 2006].

http://www.math.tuwien.ac.at/~dirk/download/thesis/msc/ferrazleite2007.pdf