H.A. Mang:
"Einführung in die Methode der Finiten Elemente";
in: "Finite Elemente in der Bruchmechanik", H.-P. Rossmanith (ed.); Springer, Wien, 1982, 58 - 86.
Viele Rand- und Anfangswertaufgaben zur Beschreibung komplexer naturwissenschaftlicher bzw. technischer Probleme sind derart schwierig, daß an analytische Lösungen von Anfang an nicht zu denken ist. Nicht selten bietet schon die Aufstellung der entsprechenden Differentialgleichungen bzw. Differentialgleichungssysteme überaus große Schwierigkeiten. Dies gilt nicht zuletzt auch für komplizierte Probleme der Strukturmechanik. Ohne Anspruch auf Vollständigkeit zu erheben, werden im folgenden einige Gründe für die Schwierigkeit, zu analytischen Lösungen strukturmechanischer Probleme zu gelangen, aufgezählt. Im einzelnen handelt es sich um(a) "Unregelmäßigkeiten" in der Struktur (abrupte Änderung der Wandstärke, Aussparungen, Versteifungen, usw.)
(b) Komplizierte geometrische Formen der Berandung der Struktur (Berandung nicht oder nur unter großen Schwierigkeiten mathematisch beschreibbar)
(c) Komplizierte Lagerung der Struktur (elastische bzw. elasto-plastische Stützennachgiebigkeiten verschiedener Art, zeitlich veränderliche Randbedingungen)
(d) Geometrische Nichtlinearität (Beziehung zwischen Verschiebungen und Verzerrungen dürfen nicht linearisiert werden; Stabilitätsprobleme, Spannungsprobleme 2. Ordnung)
(e) Physikalische Nichtlinearität; Plastizität (nichtlineare Elastizität; Plastizität in vielerlei Erscheinungsformen, komplizierte Fließbedingungen und Fließregeln)
(f) Brucherscheinugen, Risse (komplizierte Spannungszustände in der Umgebung vorgegebener Risse, Rißausbreitung im Zuge von Traglastanalysen im Stahlbetonbau)
(g) Zeitabhängige Effekte (Schwingungen von Maschinenteilen und Maschinenfundamenten, Erdbebenerregung; Schwinden und Kriechen des Betons)
(h) Komplizierte Form der Belastung (Winddruck auf Schalen, Silodruck)
(i) Folgelasten (Verschiebungsabhänigkeit des hydrostatischen Drucks)
Die aufgezählten Schwierigkeiten sowie eine Reihe weiterer, nicht angeführter Probleme stellen den Beweggrund für das Zurückgreifen auf numerische Verfahren und hier in erster Linie auf die Finite Elemente Methode (FEM) dar. Genau genommen müßte man eigentlich von Finite Elemente Methoden sprechen, da es eine große Anzahl on Varianten gibt, die sich nach verschiedenen Gesichtspunkten klassifizieren lassen. Gemeinsam ist allen diesen Verfahren, daß der zu untersuchende Bereich in eine Reihe von Teilgebieten einfacher geometrischer Form - sogenannte Finite Elemente - zerlegt wird. Der Vollständigkeit halber sei angeführt, daß in zunehmendem Maße ine Variante der "klassischen" Fem die sogenannten Randelementemethode (Boundary Element Method (BEM)) auch in der Praxis an Bedeutung gewinnt [1]. Bei diesem Verfahren wird nur der Rand des zu untersuchenden Bereichs in einzelne Finite Elemente zerlegt.
[1] Banerjee, P.K., Butterfield, R. (Hrsg.): Developments in Boundary Element Methods. London: Applied Science Publ. 1979.