[Back]

C. Adam:
"Verfeinerte Theorien zur effizienten dynamischen Berechnung plastizierender Träger";
Supervisor, Reviewer: F. Ziegler, H. Irschik; Institut für Allgemeine Mechanik (E201), Vienna University of Technology, 1994.

In this work a concept of internal loading is used to develop efficient methods for analyzing inelastic and geometrically nonlinear beams. Microscopic material defects like inclusions, cavities, cracks or dislocations, etc. produce an additional field of strain (frequently called eigenstrain), which, in general, is non-compatible. Stresses resulting from these eigenstrains are selfstresses and so these strains may be termed as sources of selfstress. Such fields of eigenstrain can be viewed as some type of loading rather than a reaction to external effects. Hence they will be called internal loading. Usually, they are not known in advance, but depend on the momentary internal state of the structure. The intensity and distribution of the internal loading is determined by the constitutive equations. Under these aspects the nonlinear problem decomposes into two linear problems. The first one represents the response of the associated linear elastic structure due to external loads. The second part is found as the response of the same associated linear elastic structure due to any developing internal loadings.
As a first example, the dynamic response of biaxially loaded elastic-viscoplastic beams is analyzed. Also included are geometrically nonlinear effects due to the stretching of the beam's axis caused by immovable supports. It is shown that these geometric nonlinearities may be interpreted also as some kind of internal loading. The solution of this only formally linear beam problem has to be formulated in an incremental manner, because the internal loading is in principle unknown and must be evaluated iteratively.
In the second example, two theories are developed to analyze composite beams including shear deformations. The first one is an equivalent single-layer theory, where constant cross-sectional rotations of all layers are considered. The shear stress distribution is determined from equilibrium equations in the x-z-plane. Again, it is possible to cast geometric nonlinearities due to fixed supports in the form of fictitious sources of selfstress or eigenstrains. Since plastic shear is also included in this problem, one has to deal with longitudinal as well as shear components of eigenstrain.
The second theory is a multi-layer theory, where each layer is treated separately in the manner of Timoshenko. The layers are assumed to be perfectly bonded. Neglecting the influence of rotatory and longitudinal inertia and by defining an effective cross-sectional rotation, it is possible to formulate an equation of motion for the deflection, which has the same form as the equation of motion of the single-layer theory. Hence, the higher order problem of multiple layers can be reduced to an equivalent single-layer theory. Geometrically nonlinear effects are not included.
Eventually, a complete inelastic Timoshenko-beam theory is developed, where also the effects of rotatory inertia are accounted for.
All developed theories are demonstrated in several numerical examples of dynamically loaded beams. Different types of material behavior are considered, like rate-dependent and rate-independent plasticity and combinations of plastic flow and ductile damage due to void growth.

In der vorliegenden Dissertation werden effiziente Verfahren zur dynamischen Berechnung inelastischer und geometrisch nichtlineare Träger auf der Grundlage des Konzepts der inneren Erregung entwickelt. Dabei werden inelastische Effekte wie zum Beispiel plastische Verformungen und Mikrorißausbreitung als zusätzliche Wirkung am zugeordneten linear elastischen Tragwerk mit der Anfangssteifigkeit angesehen. Die innere Belastung ist nicht wie die äußere vorgegeben, sondern ist vom aktuellen Spannungs- und Verzerrungszustand im Tragwerk abhängig. Die Intensität und Verteilung der inneren Erre gung wird durch die konstitutiven Gleichungen gesteuert. Unter diesen Aspekten werden aus dem nichtlinearen Problem zwei lineare Probleme, wobei das erste die Antwort des zugeordneten linear elastischen Tragwerkes auf die äußere Belastung ist. Der zweite Teil ist die Antwort des zugeordneten linear elastischen Tragwerkes auf die innere Erregung. Die während der Rechnung konstant bleibenden Materialeigenschaften des zugeordneten linearen Tragwerks gestatten eine modale Zerlegung der Bewegungsgleichungen.
In einem ersten Schritt wird das Schwingungsverhalten biaxial über die Elastizitätsgrenze hinaus belasteter elasto-viskoplastischer poröser Balken analysiert, wobei geometrische Nichtlinearitäten aus der Stabachsendehnung, die durch eine unverschiebliche Lagerung entstehen, mitberücksichtigt werden. Durch eine entsprechende Umformung der Bewegungsgleichungen gelingt es, auch die geometrisch nichtlinearen Terme der Bewegungsgleichungen als Eigenspannungsquellen aufzufassen. Die Formulierung der Lösungsgleichungen des so auf eine lineare Aufgabe zurückgeführten Balkenproblems unter den Wirkungen der vorgegebenen äußeren Kräfte und der Eigenspannungsquellen erfolgt zeitinkrementell, da die Eigenspannungsquellen a priori unbekannt sind.
Anschließend werden zwei Balkentheorien zur Berechnung schubweicher inelastischer Verbundbalken entwickelt. Bei der ersten, die zu den äquivalenten Einschichttheorien zählt, wird die Schubverformung mit einer über der Balkenhöhe konstanten Gleitung im Sinne von Timoshenko berücksichtigt. Allerdings werden die Schubspannungen lokal aus den Gleichgewichtsbeziehungen zwischen den Ortsableitungen der Normalspannungen und den Schubspannungen ermittelt. Da wir bei dieser Balkentheorie einen zweiachsigen Spannungszustand vorfinden, wird der zugeordnete lineare Balken, dem die Anfangssteifigkeit zugewiesen ist, sowohl durch Eigenspannungsquellen aus inelastischen Dehnungen als auch aus inelastischen Gleitungen belastet. Es gelingt auch hier, geometrisch nichtlineare Terme aus der Stabachsendehnung infolge unverschieblicher Auflager als Eigenspannungsquellen zu deuten.
Im Gegensatz dazu wird bei der zweiten Verbundbalkentheorie getrennt für jede Schicht eine Querschnittsrotation im Sinne von Timoshenko vorgegeben, wobei die Schichten perfekt verbunden sind. Durch Vernachlässigung der Längs- und Rotationsträgheit und Einführen einer effektiven Querschnittsrotation gelingt es, eine einzige Bewegungsgleichung für die Durchbiegung zu ermitteln, die sich von der zuvor vorgestellten Bewegungsgleichung der äquivalenten Einschichttheorie nur durch andere effektive Querschnittswerte unterscheidet. Somit können die in diesem Abschnitt vorgestellten Lösungsgleichungen adaptiert werden und auch zur Analyse dieser Verbundbalken der Mehrschichttheorie Verwendung finden. Geometrisch nichtlineare Effekte werden dabei nicht berücksichtigt.
In einem weiteren Schritt wird eine vollständige inelastische Timoshenko-Theorie, bei der die Rotationsträgheit mitberücksichtigt wird, vorgestellt.
Umfangreiche numerische Berechnungen zeigen die Einflüsse plastischer Verformungen und der Materialschädigung durch Porenausbreitung auf das Schwingungsverhalten duktiler Balken unter verschiedenen äußeren Belastungsformen. Durch Vergleichsrechnungen werden die Ergebnisse der unterschiedlichen Balkentheorien gegenübergestellt.