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S. Wolf:
"Mäßig große Biegeschwingungen von schubweichen Verbundplatten";
Betreuer/in(nen): C. Adam; Zentrum für Allgemeine Mechanik und Baudynamik am Institut für Hochbau und Technologie, 2005.

Im Rahmen dieser Diplomarbeit wird das Problem mäßig großer Biegeschwingungen von rechteckigen Dreischicht-Platten mit unverschieblichem Verbund zwischen den Schichten semianalytisch gelöst. Die linear elastische Platte soll einen mittensymmetrischen Schichtaufbau aufweisen und besitzt eine unverschiebliche Klemmschneiden-Lagerung. Nach einer Einleitung und der Modellbildung wird aus dem dynamischen Grundgesetz am infinitesimalen, verformten Plattenelement sowie den kinematischen und konstitutiven Beziehungen die Bewegungsgleichung der dynamisch beanspruchten Platte ermittelt. Dabei wird der Einfluß der unverschieblichen Lagerung mittels geometrisch nichtlinearer Terme in den Verzerrungen der Plattenmittelebene berücksichtigt. Für jede Schicht werden getrennt die kinematischen Beziehungen von Mindlin-Reissner angesetzt. Durch Einführen effektiver Querschnittsrotationen über die gesamte Plattendicke läßt sich dieses Verbundplattenproblem höherer Ordnung auf das Problem einer homogenen einschichtigen schubweichen Platte zurückführen. Für das korrespondierende geometrisch lineare Problem wird die Rechteckplatte im Hinblick auf eine allgemeine Belastung, als auch aus Gründen der Diskretisierung der Platte, mit einer Teilflächengleichlast belastet. Die Schwingungsantwort wird in einen quasistatischen und in einen komplementären dynamischen Anteil separiert. Durch modale Analyse wird die partielle Bewegungsgleichung auf ein System von entkoppelten generalisierten Einmasseschwingern zurückgeführt. Die Lösung der komplementären dynamischen Antwort ist mit dem Duhamelschen Faltungsintegral gegeben. Das Faltungsintegral wird vorweg in einem Zeitschrittverfahren gelöst, bei dem die Belastungsinkremente durch eine lineare Rampenfunktion angenähert werden. Viskose Dämpfung wird modal berücksichtigt. Beim geometrisch linearen Problem wird die Schwingungsantwort inkrementell berechnet, um diese zufolge einer beliebigen äußeren Belastung berechnen zu können und eine Anbindung zur Lösung des geometrisch nichtlinearen Problems im entwickelten FORTRAN-Programm zu erreichen. Der Lösung des geometrisch nichtlinearen Problems liegt die Idee zu Grunde, den geometrisch nichtlinearen Anteil in der Bewegungsgleichung als Zusatzlast auf die sich im Hintergrund linear elastisch vorgestellte Struktur zu deuten. Diese Deutung behält nur dann ihre Gültigkeit, wenn der Term, welcher den geometrisch nichtlinearen Anteil darstellt, auch in der Randbedingung enthalten ist. Dies ist nur für die Klemmschneiden-Lagerung der Fall. Die inkrementelle Schwingungsantwort wird analog zum geometrisch linearen Problem gefunden, wobei eine Iteration notwendig ist, da die aus der geometrischen Nichtlinearität entstehende Zusatzbelastung vom aktuellen Durchbiegungsinkrement und deren Ortsableitungen abhängig ist. Anhand von zwei Beispielen wird das Berechnungsverfahren exemplarisch angewandt und Lösungen für das geometrisch lineare und das geometrisch nichtlineare Problem gegenübergestellt.

This master's thesis is concerned with moderately large flexural vibrations of symmetrically designed composite plates with three layers. The layers are perfectly bonded and their abitrary thickness and linear elastic properties are symmetrically disposed about the middle surface. These theories show a qualitative comparison between geometric linear and geometric nonlinear calculation. By definition of an effective cross-sectional rotation the complex problem reduces to the simpler case of an equivalent elastic homogeneous shear-deformable plate with effective parameters. First, an introduction is given and the mechanical modeling is performed. The equations of motion are derived by considering the free-body diagram of an infinitesimal plate element, loaded by lateral forces. Together with the constitutive and kinematic relations this renders a partial differential equation for the deflection of the composite plate. The geometric linear solution of this problem is solved incrementally with respect to a general load of abitrary distribution and time history. The response is separated in a quasistatic and in a complementary dynamic portion. The solution of the partial differential equation is found by modal analysis. The essential operation of the mode-superposition analysis is the transformation from the displacement to a set of the modal amplitudes. The solution of the generalized decoupled single-degree-of-freedom oscillators is given by Duhamels integral, whereby the velocity and acceleration of the loads are the driving terms. The convolution integral is solved in a time stepping procedure in advance. Thereby, the increments of the loads are approximated by a linear time ramp function. Geometric nonlinear terms of the differential equation of motion are treated as lateral forces acting on the linear elastic shear deformable background plate. Since the distribution of the equivalent loading is not known in advance the solution has to be found incrementally by stepping the time and updating the strength of the equivalent loading. The whole procedure for solving this problem is valid for the case of a hard hinged supported plate only. The proposed procedure is illustrated for a 3-layer-composite plate and the qualitative differences between the geometric linear and non-linear theorie is shown by example.