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A. Jeschko:
"Biegeschwingungen zweischichtiger elastischer Balken mit nachgiebigem Verbund - ein analytisches Lösungsverfahren";
Supervisor: F. Ziegler, C. Adam; Institut für Allgemeine Mechanik, 1996.

This master's thesis is concerned with flexural vibrations of elastic composite beams with interlayer slip. First, an introduction is given and the mechanic modeling is performed. Application of equilibrium to an infinitesimal beam element renders together with the constitutive and kinematic relations a partial differential equation of sixth order for the deflection of composite beams of two layers with one plane of symmetry. The equation of motion is found by conservation of momentum. The free vibration analysis is evaluated and the generalized orthogonality relationships for the free-vibration mode shapes are determined. The total solution of the partial differential equation is found by modal analysis. The essential operation of the mode-superposition analysis is the transformation from the displacement to a single set of the modal amplitudes. Thereby, the dynamic response is separated in a quasistatic and in a complementary dynamic response. The quasistatic portion eventually contains singularities or discontinuities due to sudden load changes. The remaining complementary dynamic part of the solution is non-singular and can be approximated by a truncated modal series of fast accelerated convergence. The solution of the generalized decoupled single-degree-of-freedom oscillators is given by Duhamels integral, whereby the velocity and acceleration of the loads are the driving terms. The convolution integral is solved in a time stepping procedure in advance. Thereby, the increments of the loads are approximated by a linear time ramp function.
The proposed procedure is illustrated for a pinned-pinned composite beam of two layers with interlayer slip and the improvement to the classical modal analysis is shown.

Im Rahmen dieser Diplomarbeit wird das linear elastische Problem der Biegeschwingung kontinuierlicher zweischichtiger Träger mit nachgiebigem Verbund analytisch gelöst. Nach einer Einleitung und der Modellbildung wird aus den Gleichgewichtsbeziehungen sowie den kinematischen und konstitutiven Beziehungen die statische Differentialgleichung der Biegelinie zweischichtiger elastischer Träger mit nachgiebigem Verbund ermittelt. Mit Hilfe des Impulssatzes wird die Bewegungsgleichung des dynamisch beanspruchten Trägers gefunden. Die Lösung der freien Schwingung wird hergeleitet und eine verallgemeinerte Orthogonalitätsbeziehung für die Eigenfunktionen wird angegeben. Die Schwingungsantwort wird in einen quasistatischen und in einen komplementären dynamischen Anteil separiert. Der Vorteil dieser Aufspaltung bei kontinuierlichen Balkentragwerken liegt darin, daß der quasistatische Anteil, bei welchem Singularitäten, wie sie zum Beispiel durch eine plötzliche Lastaufschaltung auftreten können, exakt gelöst wird. Dadurch kann die Zahl der Reihenglieder bei der modalen Überlagerung verringert werden. Im Gegensatz zur klassischen Vorgehensweise, bei der die Gesamtlösung nach den Eigenfunktionen entwickelt wird, erhält man dadurch für Querkraft und Schubfluß in der Fuge konvergente Lösungen. Durch modale Analyse wird die partielle Bewegungsgleichung auf ein System von entkoppelten generalisierten Einmassenschwinger zurückgeführt. Die Lösung der komplementären dynamischen Antwort ist mit dem Duhamelschen Faltungsintegral gegeben, wobei über die Geschwindigkeit und Beschleunigung der Belastung zu integrieren ist. Das Faltungsintegral wird vorweg in einem Zeitschrittverfahren gelöst, bei dem die Belastungsinkremente durch eine lineare Rampenfunktion angenähert werden. Viskose Dämpfung wird modal berücksichtigt. An einem beidseitig gelenkig gelagerten zweischichtigen Träger mit nachgiebigem Verbund wird das Berechnungsverfahren anhand von zwei Beispielen exemplarisch angewendet und es wird die Verbesserung der Lösung gegenüber der klassischen Vorgehensweise aufgezeigt.