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B. Scheichl:
"Asymptotic theory of marginal turbulent separation";
Supervisor, Reviewer: A. Kluwick, H. Sockel; Institute of Fluid Mechanics and Heat Transfer (E322), Vienna University of Technology, Vienna, Austria, 2001.

The development of an asymptotic theory of turbulent separation has been hampered severely by the fact that a pressure increase of $O(1)$ appears to be necessary to separate an initially firmly attached turbulent boundary layer, even in the limit of infinite Reynolds number, denoted by $\Rey$. According to classical theory, the latter one is characterized by a small velocity defect with respect to the external irrotational flow. A different situation is expected to arise if one considers boundary layers subjected to adverse pressure gradients such that the wall shear stress vanishes eventually but immediately recovers. Similar to the case of laminar marginally separated flows, the pressure changes in the vicinity of the point of vanishing wall shear then are small. But then the difficulty is encountered that separation is not compatible with a small velocity defect but rather requires the existence of a defect of $O(1)$. Thus, separation is seen to be associated with the appearance of a nonlinear wake-like solution describing the outer part of the boundary layer, whose slenderness then is determined by an additional small parameter which is essentially independent of $\Rey$. This allows for further analytical progress which suggests a self-consistent description of the separation process and, among others, shows how the classical logarithmic law of the wall is gradually transformed into the well-known square root law that holds at the point of zero skin friction. Supported by numerical calculations, the important result is found, among others, that separation is accompanied by a regular solution of the inviscid wake. It gives rise to a small reverse-flow regime in the limit $\Rey^{-1}=0$ within the framework of pure boundary layer theory, strikingly contrasting the singular behaviour known from its laminar counterpart. Moreover, in the special case of quasi-equilibrium flows characterized by an only weakly varying Rotta--Clauser parameter $\beta$ the transition from the classical defect to the nonlinear wake is found to be associated with non-uniqueness of the
solutions in the case $\beta\to\infty$. The analysis presented is essentially independent of the choice of a specific closure for the Reynolds shear stress.

Die Entwicklung einer asymptotischen Theorie zur turbulenten Ablösung wurde bis heute in erster Linie dadurch verhindert, dass selbst im Grenzfall unendlich hoher Reynolds-Zahlen $\Rey$ ein Druckanstieg von der $O(1)$ notwendig ist, um Ablösung einer klassischen anliegenden turbulenten Grenzschicht hervorzurufen. Dabei ist die bekannte asymptotische Struktur letzterer im Wesentlichen durch den kleinen Geschwindigkeitsdefekt in Bezug auf
die Geschwindigkeit am Grenzschichtrand zufolge der drehungsfreien Außenströmung charakterisiert.

Eine gänzlich andere Situation tritt auf, wenn man eine Grenzschicht betrachtet, welche unter der Wirkung eines aufgeprägten stetigen, positiven (sowie hinreichend starken) Druckgradienten zwar abzulösen vermag, jedoch unmittelbar stromab wieder anlegt. In Übereinstimmung mit den Ergebnissen für laminare marginal abgelöste Strömungen ändert sich der Druckgradient an der Stelle verschwindender Wandschubspannung nur schwach. Ihr Vorzeichenwechsel setzt im turbulenten Fall ebenso wie bei laminarer Strömung einen Geschwindigkeitsdefekt von der $O(1)$ voraus. Diese Beobachtung lässt den Schluss zu, dass der äußere Teil einer sich am Rande der Ablösung befindlichen turbulenten Grenzschicht ein
Freistrahl-ähnliches Verhalten aufweist, welches durch die reibungsfreien, turbulenten Scherschicht-Gleichungen mit nichtlinearem konvektiven Anteil bestimmt wird. Dabei stellt sich heraus, dass die Dicke der Schicht asymptotisch von der Größenordnung eines kleinen, im Wesentlichen von $\Rey$ unabhängigen, sogenannten Schlankheits-Parameters ist.

Dieses selbstkonsistente asymptotische Konzept eröffnet die Möglichkeit einer weiteren analytischen Behandlung des turbulenten Ablösemechanismus, sodass unter anderem die Frage geklärt wird, wie das klassische logarithmische Wandgesetz für strikt anliegende Grenzschichten glatt in das bekannte Quadratwurzel-Verhalten des
Geschwindigkeitsprofils in Wandnähe für eine gerade ablösende Strömung transformiert wird. Unterstützt von numerischen Rechnungen erhält man als ein wichtiges Ergebnis, dass im Grenzfall $\Rey^{-1}\ttz$ die reine Scherschicht-Approximation für den Außenteil der Grenzschicht beim Auftreten von Ablösung reguläre Lösungen für das kleine Rezirkulationsgebiet zulässt, ganz im Gegensatz zu dem aus der Theorie laminarer marginaler Ablösung bekannten singulären Verhalten.

Des weiteren gelingt es zu zeigen, dass im speziellen Fall von Quasi-Gleichgewichtsgrenzschichten mit kleinem Geschwindigkeitsdefekt, die sich in führender Ordnung durch konstanten Rotta--Clauser-Parameter $\beta$ auszeichnen, der Übergang von der klassischen Defektstruktur zum nichtlinearen Verhalten einer nahezu freien Scherschicht von einer Mehrdeutigkeit der Lösungen im Falle $\beta\tti$ begleitet wird.

Die vorliegenden Untersuchungen stellen sich dabei als im weitesten Sinne unabhängig von der Wahl eines speziellen Schließmodells für die Reynolds-Spannungen heraus.

http://publik.tuwien.ac.at/files/pub-mb_1930.pdf