[Back]

A. Teufel:
"A Contribution to Self-excited Oscillations: Smooth and non-smooth Bifurcation Analysis in Applied Mechanical Systems";
Supervisor, Reviewer: H. Troger, H. Springer; Institut für Mechanik und Mechatronik, 2007; oral examination: 2007-11-05.

The mechanism of self-excitation is of great practical relevance in oscillating technical systems.
Oscillating power transmission lines in a wind flow or the squealing noises of brakes serve as examples
which may be regarded as a superior motivation for the present thesis.
In mathematically smooth systems the onset of self-excited oscillations is described by a Hopf-bifurcation,
which will exemplarily be demonstrated for synchronized solutions of a mechanical system.
In systems which are non-smooth due to friction effects new theoretical results from non-smooth bifurcation analysis
will prove useful for the description of self-excited friction oscillators.

Synchronization is a phenomenon which can be found in many branches of natural sciences, engineering and social life
as soon as oscillating systems are interacting. The coupled system may oscillate with a common (``synchronous") frequency which is different from the eigenfrequencies of the isolated oscillators.
Two coupled slightly different pendula which are exposed to a fluid flow shall be considered as a mechanical example. The energy supply due to the fluid flow provides a mechanism of self-excitation and the elastic coupling enables the pendula to synchronize. Mathematically, a synchronized motion manifests itself in the appearance of a limit cycle in the coupled system of the equations of motion. In the considered example, the limit cycle appears by means of a Hopf-bifurcation of codimension 2 at a critical flow velocity. The analysis of the Hopf-bifurcation depends on the resonance properties of the eigenvalues of the system: the
eigenvalues are found to be non-resonant for a large frequency detuning and/or a large coupling strength. The stability boundaries of synchronized solutions can be derived from prevailing methods of normal form theory. For a strong coupling the pendula will always perform synchronized motions. If the frequency detuning is assumed to be large it has to be limited by bounds depending on the coupling strength in order to synchronize
all solutions.

Resonant eigenvalues are mechanically achieved by a small frequency detuning and a weak coupling of the pendula. In this case the method of averaging is applied in order to obtain equations for the amplitudes and the phase governing the evolution of the limit cycle. Synchronized solutions are found as the stationary solutions of the averaged system. With the aid of a cunning substitution of variables the stability investigations of the synchronized solutions can be performed analytically. In particular, formulas are given for the amplitudes and the frequency of the synchronized limit cycle. Moreover, a simple graphical interpretation of the synchronized solutions facilitates the calculation of stability boundaries in the parameter space spanned by the frequency detuning and the coupling strength.

The second topic, this thesis is devoted to, is concerned with the occurrence of self-excited oscillations due to friction. Because of the physical nature of friction, necessarily a discontinuity is introduced to the system. Thus, special emphasis must be placed
upon non-smooth bifurcation theory, which shall be applied to
concrete mechanical problems, here. Friction oscillators belong to so-called \textsc{Filippov}-Systems, which are characterized by the fact that solutions can stay on a discontinuity in the phase space for at least a finite time. All possible codimension-1 bifurcations in planar \textsc{Filippov}-Systems have been classified by \textsc{Kuznetsov}. In mechanical systems with one degree-of-freedom, however, various types of non-smooth bifurcations may be ruled out from the
outset. A simple oscillator consisting of a spring-mass system on a driven belt serves as an example to explain the effect of non-smooth bifurcations.
If a general non-linear dependence of the friction coefficient on the relative velocity is assumed, even this simple friction oscillator reveals
all major types of non-smooth bifurcations that are expected to appear in general in mechanical systems with one degree-of-freedom. By means of a numerical continuation method these bifurcations are continued in a parameter space, where the geometric quantities of the friction characteristic as well as the band speed serve as continuation parameters. Besides the pertinent ``stick-slip" oscillations we also concentrate on finding
``overshooting"-solutions where the mass moves in the same direction as the belt but is temporarily faster.

Originating from the problem of squealing noises in breaking trains we consider in the following a brake-like continuous model which consists of a rotating rigid shaft fitted into an elastic bush with a diameter mismatch. The equations of motion of the bush are reduced by a one-mode \textsc{Galerkin} expansion in the radial direction and thus describe the evolution of non-smooth elastic travelling waves on the shaft-bush interface. The reduced travelling wave equations closely
resemble the simple friction oscillator, yet the variation of the normal
pressure between the shaft and the bush may additionally cause separation effects. The appearance of different contact regimes, such as sticking, slipping or separating provides a vivid example of non-smooth bifurcations in the considered system, which are calculated numerically.
In order to detect the bifurcation curves in the parameter space we predominantly use the static coefficient of friction, the rotation velocity of the shaft and the radial ratio of the bush as continuation parameters. Again, a non-linear friction law depending on the local relative velocity
is assumed to hold at the shaft-bush interface.
It is shown that waves rotating in the same sense as the shaft only exist for small diameters of the bush.
For backward waves rotating in the opposite direction a rich bifurcation scenario is found, yielding pure slip, stick-slip, stick-slip-separation and
slip-separation waves. In slip regimes we additionally
encounter the emergence of overshooting motions where
the tangential velocity of the bush locally exceeds the velocity of the shaft.
The obtained results justify the application of non-smooth bifurcation theory in order to find parameter domains of
qualitatively different types of solutions which would have been undetected if a conventional strategy was pursued where the discontinuities are avoided using
smoothing functions.

Der Mechanismus der Selbsterregung ist von großer praktischer Relevanz in technischen schwingungsfähigen Systemen.
Als Beispiele, die als übergeordnete Motivation für die vorliegende Arbeit angesehen werden können, seien die Schwingungen von
Hochspannungsleitungen in einem Luftstrom
oder das Quietschen von Bremsen erwähnt.
In
mathematisch glatten Systemen wird
das Auftreten selbsterregter Schwingungen durch eine Hopf-Verzweigung beschrieben, was am
Beispiel synchronisierter Lösungen in mechanischen Systemen gezeigt wird. In zufolge von Reibungseffekten
nicht-glatten Systemen liefern neue theoretische Resultate aus dem Bereich der nicht-glatten Verzweigungstheorie
wertvolle Impulse zur Beschreibung selbsterregter Reibungsschwingungen.

%Es werden zwei Themenbereiche im Zusammenhang mit selbsterregten Schwingern aufgegriffen: einerseits das Phänomen der Synchronisation in mechanischen Systemen und andererseits das Auftreten von Schwingungen in nicht-glatten Systemen mit Reibung. Speziell in letzterem Fall liefern neue theoretische Resultate aus dem Bereich der nicht-glatten Verzweigungstheorie wertvolle Impulse für ingenieursmäßige Anwendungen.

Synchronisation ist ein Phänomen, das in den unterschiedlichsten Wissenschaftsdisziplinen beobachtbar ist, sobald schwingungsfähige Systeme miteinander interagieren. Das Charakteristikum hierbei ist, dass die Oszillatoren im Verbund eine (gegebenenfalls phasenverschobene) Schwingung mit einer
gemeinsamen (``synchronen") Frequenz ausführen, die von den Eigenfrequenzen der isolierten Einzelsysteme abweicht. Als mechanisches Beispiel hierfür werden zwei gekoppelte geringfügig unterschiedlich dimensionierte Pendel betrachtet, die einem Windstrom ausgesetzt sind. Durch die durch die Anströmung bewirkte Energiezufuhr wird das System selbsterregt und durch eine elastische Kopplung zwischen den beiden Pendeln auch synchronisationsfähig.
Mathematisch manifestiert sich eine synchronisierte Bewegung im Auftreten eines Grenzzyklus im gekoppelten Bewegungsgleichungssystem, welcher im betrachteten Beispiel durch eine Hopf-Verzweigung der Kodimension 2 bei einer kritischen
Anströmgeschwindigkeit entsteht. Die Untersuchung dieser Verzweigung hängt wesentlich von den Resonanzeigenschaften der Systemeigenwerte ab:

I. Der Fall nicht resonanter Eigenwerte tritt für starke Koppelung bzw. eine große Eigenfrequenzabweichung der beiden Schwinger ein. Stabilitätsgrenzen für synchronisierte Lösungen können aus den bekannten Methoden der Normalformtheorie einer Hopf-Verzweigung mit zwei unterschiedlichen Paaren rein imaginärer Eigenwerte ermittelt werden.
Während für eine starke Kopplung der Pendel erwartungsgemäß
stets stabile synchronisierte Lösungen ohne Phasenverschiebung auftreten, kann im Fall der großen Frequenzabweichung eine Schranke für dieselbe in Abhängigkeit der Koppelungsstärke angegeben werden, sodass sich immer synchronisierte Schwingungen einstellen.

II. Im Fall resonanter Eigenwerte, der mechanisch durch eine kleine Abweichung der Eigenfrequenzen der Pendel sowie eine schwache Koppelung hervorgerufen wird,
führt hier die Mittelungsmethode zu Amplituden- und Phasengleichungen für die Evolution des Grenzzykels. Synchronisierte Lösungen ergeben sich als stationäre Lösungen der über eine Pendelperiode gemittelten Gleichungen. Durch eine geschickte Variablensubstitution gelingt es eine analytische Stabilitätsuntersuchung der synchronisierten Lösungen durchzuführen und im speziellen Formeln für die Amplituden bzw. die Frequenz des synchronisierten Grenzzykels anzugeben. Insbesondere erlaubt eine einfache graphische Interpretation der synchronisierten Lösungen das Auffinden von Stabilitätsgrenzen in der von der Frequenzabweichung und der Koppelungsstärke aufgespannten Parameterebene.

Der zweite Themenkomplex, dem sich diese Arbeit zuwenden soll, widmet sich der Entstehung selbsterregter Schwingungen durch Reibung. Da durch die physikalische Natur der Reibung zwangsläufig Unstetigkeiten in den Beschleunigungen auftreten, muss
ein besonderes Augenmerk auf
die noch im Entwicklungsstadium begriffene Verzweigungstheorie in nicht-glatten Systemen gelegt werden, die hier auf konkrete mechanische Beispiele angewandt werden soll. Reibungsschwinger zählen zu den sogenannten \textsc{Filippov}-Systemen, wo Lösungen an Unstetigkeiten im Phasenraum entlanglaufen können.
Für ebene nicht-glatte Systeme des \textsc{Filippov}-Typs sind bereits alle Kodimension-1-Verzweigungen nach \textsc{Kuznetsov}
klassifiziert. Für mechanische Systeme mit einem Freiheitsgrad kann jedoch ein Großteil der möglichen nicht-glatten
Verzweigungsarten bereits vorweg ausgeschlossen werden.
Ein einfacher Einmassenschwinger auf einem rauhen laufenden Band soll als einführendes Beispiel zur Erklärung nicht-glatter Verzweigungsphänomene dienen. Für eine allgemeine nicht-lineare Abhängigkeit des Reibungskoeffizienten von der Relativgeschwindigket kann bereits für den einfachen Reibungsschwinger die Existenz nahezu aller wichtiger nicht-glatter Verzweigungen numerisch nachgewiesen werden, die in mechanischen Systemen mit einem Freiheitsgrad von Relevanz sein können.
Mit einer numerischen Fortsetzungsmethode können die Orte der Verzweigungen im Parameterraum verfolgt werden, wobei geometrische Kenngrößen der Reibungskennlinie sowie die Bandgeschwindigkeit als Parameter dienen.
Speziell ist hier neben den typischen ``stick-slip"-Schwingungen auch das Auftreten von überschwingenden Lösungen zu beobachten, d. h. die Masse bewegt sich in der Bandlaufrichtung kurzzeitig schneller als das Band.

Motiviert durch das Auftreten von Quietschgeräuschen beim Bremsvorgang von Zügen wird in der Folge ein bremsenähnliches kontinuierliches Modell betrachtet, bestehend aus einer auf eine starre Welle aufgeschrumpften elastischen Nabe, wobei die Welle in der Nabe mit konstanter
Winkelgeschwindigkeit rotiert.
Reduziert man die Bewegungsgleichungen der Nabe in radialer Richtung durch einen eingliedrigen \textsc{Galerkin}-Ansatz, erhält man
ähnliche Gleichungen wie für den einfachen Reibungsschwinger, die nun eine fortlaufende nicht-glatte elastische Welle an der Grenzfläche zwischen der festen Welle und der Nabe beschreiben, wobei durch die hinzutretende Veränderung des Normaldrucks zwischen Welle und Nabe auch Ablöseeffekte auftreten können. Das Auftreten unterschiedlicher Kontaktzonen wie Haften, Gleiten
oder Ablösen sind anschauliche Beispiele für Verzweigungen des nicht-glatten Systems, die es gilt numerisch nachzuweisen.
Zum Auffinden der Verzweigungskurven im Parameterraum dienen vorrangig der statische Reibungskoeffizient,
die Winkelgeschwindigkeit der Welle und das Verhältnis der Radien als Fortsetzungsparameter,
während wiederum ein nichtlineares Gesetz für die Abhängigkeit des Reibungskoeffizienten von der lokalen
Relativgeschwindigkeit
am Wellen-Naben-Kontakt angenommen wird.
Es wird gezeigt, dass im positiven Umlaufsinn fortlaufende Wellen nur für kleine Nabendurchmesser existieren.
Für rückwärtslaufende Wellen ergibt sich
ein reiches Verzweigungsverhalten
vom Auftreten von ``stick-slip"-Wellen, über die Ausbildung von überschwingenden Bereichen
(d. h. lokal übersteigt die Tangentialgeschwindigkeit der Nabe die Umfangsgeschwindigkeit der Welle)
bis hin zur Entstehung von
mehreren Separationszonen. Die erhaltenen Resultate rechtfertigen den Einsatz der nicht-glatten Verzweigungstheorie zum
Auffinden der Parameterbereiche qualitativ unterschiedlicher Lösungstypen, die bei einer konventionellen Analyse
durch eine Glättung der Unstetigkeiten nicht unterscheidbar wären.

Bifurcation theory / self-excited oscillations / friction-induced oscillations / synchronization / non-smooth systems / Filippov theory / travelling waves