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M. Todt:
"Long Wave Instabilities in Periodic Structures";
Betreuer/in(nen): T. Daxner; Institut für Leichtbau und Struktur-Biomechanik, TU Wien, 2008; Abschlussprüfung: 20.08.2008.

Ziel der vorliegenden Arbeit ist die Implementierung einer Methode, die den numerischen Aufwand für die Suche nach Gleichgewichtsverzweigungspunkten für unter Druck belastete periodische Strukturen stark reduziert. Die durchgeführten Berechnungen basieren auf der sogenannten Bloch-Wellen-Methode. Diese Methode nutzt die Periodizität der Struktur und erlaubt die Bestimmung des Verzweigungspunktes und der dazugehörigen Versagensform für eine Struktur bestehend aus zahlreichen Zellen anhand einer einzigen Einheitszelle. Im Rahmen dieser Arbeit wird die Methode für die Analyse eines periodischen offenporigen Schaumes, eines periodischen zweidimensionalen Gitters und eines periodischen geschlossenporigen Schaumes verwendet.

Zur Beschreibung der Skelettlinien des offenporigen Schaumes wird eine Kelvin Zellgeometrie herangezogen. Die geometrischen Eigenschaften werden aus der Literatur übernommen. Die Suche nach dem kritischen Zustand erfolgt für ein- und mehrachsige Spannungszustände. Die Wellenlänge des kritischen Beulmodes ist abhängig vom Belastungszustand und von der Anzahl der Zellen der periodischen Struktur. Die Ergebnisse sind vergleichbar mit den Ergebnissen aus der Referenzliteratur und werden zusätzlich durch begleitende Eigenwertanalysen an Strukturen, bestehend aus mehreren Einheitszellen, bestätigt.

Für die Modellierung eines zweidimensionalen periodischen Gitters werden vier verschiedene Einheitszellen verwendet um sicherzustellen, dass die Implementierung unsensibel bezüglich Phasenverschiebungen der periodischen Geometriefunktion reagiert. Die Ermittlung des kritische Zustandes efolgt für einachsigen Druck und für ebene Spannungszustände. Der kritische Beulmode eines Gitters mit (theoretisch) unendlicher Ausdehnung ist unabhängig vom Belastungszustand und entspricht einem Beulmode mit unendlicher Wellenlänge. Für den einachsigen Belastungszustand hängen die kritische Last und die Wellenlänge des zugehörigen Versagensmodes von der Anzahl der Zellen in Lastrichtung ab. Alle vier Einheitszellen liefern vergleichbare Ergebnisse, die auch durch Ergebnisse aus der Literatur bestätigt werden.

Das Modell des geschlossenporigen Schaumes basiert auf einer Weaire-Phelan Zellgeometrie. Unter Druckbelastung zeigt die Weaire-Phelan Zelle eine hohe Empfindlichkeit gegenüber kleinen geometrischen Imperfektionen. Die Bestimmung des kritischen Zustandes erfolgt für einachsigen Druck und hydrostatischen Druck. In beiden Fällen ist der kritische Spannungszustand und die Wellenlänge des zugehörige Beulmodes unabhängig von der Größe der periodischen Struktur. Der kritische Beulmode ist ein lokaler und weist die gleiche Periodizität wie die Einheitszelle auf.

The aim of the present thesis is the implementation of an efficient method for detecting the onset of buckling in spatially periodic structures loaded under compression. The calculations made are based on the Bloch Wave method. This method searches for the critical state of a (theoretically) infinite periodic structure using a single unit cell which can be as small as the smallest periodic building block of the structure, and therefore, reduces the required numerical effort for predicting buckling modes that involve multiple cells significantly. In the present thesis the Bloch Wave Analysis (BWA) is applied to three different periodic structures, namely: an open cell foam, a periodic two-dimensional lattice, and a closed cell foam.

The open cell foam is modeled on the basis of a space-filling Kelvin cell. The struts of the Kelvin cell are assigned several geometric properties reported in the literature. The results received for the Kelvin cell are verified against published results. The Kelvin cell is subjected to uniaxial loading and a set of triaxial loading cases. The wave length of the critical buckling modes depends on the triaxiality of the loading case. The results agree with those reported in the literature and with the results delivered by an accompanying eigenvalue analysis of Finite Element models containing multiple base cells.

The periodic 2D lattice is modeled using four different unit cells in order to investigate the influence of different realizations of periodic boundary conditions on the predicted behavior. These four cells are subjected to uniaxial and bi-axial compressive loads. The results received with all four cells are in good agreement. The wavelength of the critical buckling mode is independent of the multiaxiality of the loading case and corresponds to a mode with infinite wavelength. For the uniaxial loading case the critical stress and the corresponding buckling mode depend on the number of unit cells stacked in loading direction. The results of the BWA are confirmed by an accompanying eigenvalue analysis and verified against results reported in the literature.

The closed cell foam model is based on the space-filling Weaire-Phelan cell. The cell is subjected to uniaxial compressive loading and to pure hydrostatic pressure. For both cases the critical buckling mode is local to a single unit cell, even if the number of base cells that build up the investigated sturcture if far larger than one.