Habilitation Theses:

M. Grafinger:
"Die computerunterstützte Entwicklung der Flankenprofile für Sonderverzahnungen von Schraubenkompressoren";
TU-Wien / Maschinenwesen und Betriebswissenschaften, 2010.

English abstract:
For the improvement and for a new design of screw-rotor-profiles it is necessary to get a general survey of possible solutions for suitable rotor-profiles. Therefore a general profile-theory including male rotor, female rotor and also the rack profile
(tool-profile) is essential. The "profile-gradient-function" first introduced by R. Steffens for Roots blowers allows such a general description in an analytical way also for screw rotor profiles. These profile functions for screw compressors have common characteristics which result from following requirements.
. High specific tightness from small leakage flow cross-sections
. Large delivery volume per rotation from large compression chambers
. Good running ability from good osculation of tooth flanks
. Avoid changing the sign of female rotor torque
. Low abrasion from slow sliding velocities.
. Low sensibility for axial distance failures
. Precise and cheap manufacturing with simple tools.

The large amount of actually used profile forms are based on fairly few tooth systems which were found less or more randomly. Nearly all improvements on rotor profiles always were done inside their own tooth system, without employing the full variety of possible solutions. The major reason is the large mathematic complexity of the analytic description for each pair of tooth flanks in contact under consideration of the fundamental law of gearing. This is also significant for the rack profile and the curve of contact. Modifying single sections of tooth flanks mostly caused a complete redesign of the whole rotor profile.

The application of the profile-gradient-function for design, improvement and comparison of screw rotor profiles gives great benefits. By the main principle of the method this description automatically takes into account the fundamental law of gearing, which dictates that in the contact points all flank perpendiculars have to go through the pitch point. With declaration of only one profile-gradient-function the profile-coordinates of the male and the female rotor and also of the rack-profile are determined in a general way. Although it makes no difference if parts of the flanks are defined on the male rotor, on the female rotor, on the rack profile, or with the profile-gradient-function itself. Also corrections of the flank lines are simple possible by adding to the normal distance from pitch point to contact point. Furthermore these corrections have not to be constant inside one flank section. Technical unusable solutions, like undercuts, multiple covered flanks and flank tips, can be recognised and avoided. Also derived values like the curvature, the osculation and the velocities are obtained simply.

Flank sections of screw rotor profiles are usually circles, straight lines, evolvents, cycloids, trochoids and their envelopes. This partially complex flank forms yet result from mathematic simply profile-gradient-functions, like straight lines and arctan-functions. These are used as the basic principles for profile development in the here introduced computer program SV_Win.

For profile design the tooth form is divided into two domains. The part from male rotor tooth base to male rotor tip in rotation direction is called driving flank. Generally the necessary female rotor torque is transmitted on this flank. Exceptions are rotor profiles where the camber pressure drives the female rotor or where the torque on female rotor has a change of sign during compression. But this should be avoided regarding to the running smoothness. At the driving flank outstanding good flank osculation and slow sliding velocities are important.

The second part from main rotor tip back to main rotor base makes the boundary of the tooth gap during compression and is called sealing flank. For a tighten tooth profile the curve of contact has to reach until the intersection point of the rotor tip circles. This means that the male rotor tip has to come in contact with the female rotor from female tooth base to female tip. For all rotor positions the flank perpendicular has to go through the pitch point, so the male rotor tip must have different normal directions, which is impossible for a line segment. Therefore the male rotor tip has to be a point, which forms the female rotor flank. But such pointgenerated flanks have no running abilities. Changing the pointgenerated flank by a runable flank with a curve on male rotor tip, automatically brings out a leakage area, the so called blow hole of the tooth rotor profile.

Many of the requirements for a good rotor profile are oppositional, like running ability and tightness or slow sliding velocity and large delivery rate. A profile is always only a compromise. The method of profile-gradient-function, implemented in SV_Win helps to find optimal solutions for new screw rotor profiles.

With SV_Win five flank segments for respectively driving flank and sealing flank can be defined from linear, circular or common profile forms.While building up the rotor flanks, the engineer can see the form of the rack profile and also the profile-gradient-function of the flank segments in the graphical user interface. Already in development phase this gives an indication of the expected size of the blow hole and other profile characteristics. For example a very steep profile-gradient-function points to long flank perpendiculars and therefore fast sliding velocities. The ends of driving flank and sealing flank need a tangential contact with profile gradient P = 0 to the basic circle or tip circle. The necessary flank parameters are set automatically by the software and are reported to the developer. Also the driving flank and sealing flank together have to fit exactly into one tooth pitch. As well for this purpose special trimming tools and hints are built in the program.

Once the tooth profiles have been defined, the whole screw rotor flanks with the tip circles and the curve of contact are shown in the graphic window. If discontinuous flank parts or contact points outside the tip circles are detected by the software, these areas are marked with a warning sign and the user gets warning information.
The shown rotor profiles can be rotated and zoomed in the graphic window. Further there are many export functions for data transfer to CAD-systems. For manufacturing of milling and grinding tools special tool data with freely reduced number of points on the flanks can be exported.

From the complete designed rotor profile, the given rotor length and the helix angle can be automatically calculated the following tooth gap data:
. The sliding velocities on flank contact point and on the tip circles
. The graph of the tooth gap area over the male rotor rotation angle
. Maximum of the tooth gap area with corresponding rotation angle
. The graph of the chamber volume over male rotor rotation angle
. Maximum of the chamber volume with corresponding rotation angle
. Size of the blow hole on the sealing flank
. The length of the leakage gaps (front side, contact and housing)
. The leakage gap parameter by Rinder

After entering the position of the intake control edge and outlet control edge the following compression data can be calculated either analytic from a given polytrophic exponent or from real measured pressure operating points. The calculation is based on the assumption of an ideal tighten machine.
. The built in volume ratio between the control edges
. The inner pressure ratio between the control edges
. The position of the outlet control edge to reach a given pressure
. The graph of the chamber pressure over the male rotor rotation angle

From the calculated chamber pressure, the geometric tooth profile, helix data and the given bearing distances the software calculates the forces acting on the rotors. Then following output data is available:
. The axial bearing forces on male rotor and female rotor
. The radial bearing forces on intake and outlet side of the rotors
. Value of force components in X- and Y-direction on all four bearings
. Graph of the torque on male rotor and female rotor without friction influences

All calculated graphs over the male rotor angle can be shown in the graphic window and can be exported as text-file ore excel-sheet. So the developer of special tooth profiles for screw rotor compressors can be supported by a comprehensive software tool for profile design and comparison regarding many optimization criteria. With SV_Win now rotor profiles can be designed and selective improved for appointed parameters.

German abstract:
Für die Verbesserung oder Neuentwicklung der Sonderverzahnungen von Rotoren in Schraubenmaschinen ist eine einheitliche Profiltheorie, die Hauptläuferverzahnung, Nebenläuferverzahnung und das Zahnstangen-Werkzeugprofil beinhaltet notwendig. Die von R. Steffens für Rootsgebläse - Rotoren erstmals verwendete Methode der Profilsteigungsfunktion erlaubt diese umfassende Darstellung auch für Schraubenrotor-Verzahnungen. Die allen Rotorprofilen gemeinsamen Charakteristika resultieren aus folgenden Hauptforderungen für Schraubenmaschinen.

. Hohe spezifische Dichtheit durch kleine Leckstromquerschnitte
. Große Liefermenge je Umdrehung durch große Arbeitsräume
. Gute Lauffähigkeit durch gute Flankenschmiegung
. Vermeidung von Vorzeichenwechsel des Drehmomentes am Nebenläufer
. Geringer Verschleiß durch geringe Relativgeschwindigkeiten.
. Geringe Empfindlichkeit auf Achsfehler
. Genaue und billige Herstellung mit einfachen Werkzeugen.

Die relativ vielen, heute verwendeten, Profilformen lassen sich auf ganz wenige Verzahnungssysteme zurückführen, die mehr oder weniger zufällig gefunden wurden. Fast alle Verbesserungen an den Profilen sind immer nur innerhalb des eigenen Verzahnungssystems geschehen, ohne dass man die zur Verfügung stehende Lösungsvielfalt voll ausgenutzt hat. Dies liegt vor allem daran, dass die analytische Beschreibung für jedes zusammenarbeitende Flankenpaar unter Berücksichtigung des Verzahnungsgesetzes mit oft großem mathematischem Aufwand erfolgen musste. Gleiches gilt für die Eingriffslinie und für das Werkzeugprofil. Das Abändern von einzelnen Flankenteilen war meist mit einem kompletten Neuentwurf der Verzahnung verbunden.

Die Anwendung der Profilsteigungsfunktion für den Entwurf, für die Verbesserung und für den Vergleich von Rotorverzahnungen bringt entscheidende Vorteile. Die Darstellung berücksichtigt bereits im Prinzip der Methode automatisch das Verzahnungsgesetz, nach dem alle Flankennormalen im Eingriffspunkt durch den Wälzpunkt gehen müssen. Mit der Angabe von nur einer Profilsteigungsfunktion sind Hauptläuferflanken, Nebenläuferflanken und das Zahnstangenprofil bestimmt. Dabei macht es keinen Unterschied ob Flankenstücke am Hauptläufer, am Nebenläufer, durch die Zahnstange oder durch die Profilsteigungsfunktion selbst definiert sind. Auch Flankenkorrekturen, die nicht einmal innerhalb eines Abschnitts konstant sein müssen, sind einfach durch Addition zum Normalabstand Flanke bis Wälzpunkt möglich. Technisch unbrauchbare Lösungen, wie Unterschneidungen, mehrfach überdeckte Flanken und Spitzen, können erkannt und vermieden werden. Auch abgeleitete Größen wie Geschwindigkeiten, Flankenkrümmung und Schmiegung sind in einfacher Weise zu berechnen.

Als Flankensegmente für Rotorprofile dienen Kreise, Gerade, Evolventen, Zykloiden, Trochoiden und deren Kreishüllbahnen. Die zum Teil komplizierten Flankenformen resultieren aus dennoch mathematisch einfachen Profilsteigungsfunktionen, wie Gerade und arctan-Funktionen. Diese werden als Grundlage zur Profilentwicklung in dem hier vorgestellten Computerprogramm SV_Win verwendet.

Für den Verzahnungsentwurf wird die Zahnform in zwei Flankenbereiche unterteilt. Der Teil vom Hauptläuferzahnfuß bis zum HL-Kopfpunkt in Drehrichtung wird Treibflanke genannt, an dieser wird im Allgemeinen das erforderliche Drehmoment zum Nebenläufer übertragen. Eine Ausnahme dazu sind Läuferprofile bei denen der Zahnlückendruck der Verdichtung den Nebenläufer antreibt, oder bei denen ein Vorzeichenwechsel am Nebenläuferdrehmoment während der Verdichtung auftritt. Dies sollte aber im Hinblick auf die Laufruhe jedenfalls vermieden werden. An der Treibflanke sind besonders eine gute Flankenschmiegung und geringe Gleitgeschwindigkeiten wichtig. Der zweite Teil vom HL-Kopf bis zum HL-Fuß bildet die Begrenzung der Zahnlücke während der Verdichtung und wird Dichtflanke genannt. Für eine dichte Verzahnung muss die Eingriffslinie bis zum Schnittpunkt der Rotor-Kopfkreise gehen. Dies bedeutet, dass der Hauptläuferkopfpunkt zweimal zum Eingriff kommen muss, nämlich einmal am Nebenläufer-Zahnfuß und einmal mit dem Nebenläufer-Kopfpunkt. Für beide Radstellungen muss die Flankennormale im Eingriffspunkt durch den Wälzpunkt gehen. Der Hauptläufer-Kopfpunkt muss damit zwei verschiedene Flankennormalenrichtungen besitzen, was für ein Linienelement unmöglich ist. Der Hauptläuferkopf muss demnach als Punkt die Nebenläuferflanke erzeugen. Punkterzeugte Flanken sind allerdings nicht lauffähig. Ersetzt man die punkterzeugte Flanke durch eine lauffähige mit einer Hauptläufer-Kopfrundung, entsteht zwangsläufig eine Lecköffnung, das Blasloch der Verzahnung. Viele Forderungen sind gegenläufig, wie etwa Lauffähigkeit und Dichtheit oder geringe Gleitgeschwindigkeit und hohe Liefermenge. Eine Rotorverzahnung ist immer nur ein Kompromiss. Die Methode der Profilsteigungsfunktion, die in SV_Win implementiert ist, hilft optimale Lösungen für Rotorverzahnungen zu finden.

Mit SV_Win können in der Treibflanke und Dichtflanke jeweils fünf verschiedene Flankensegmente aus Geraden, Kreisbögen oder allgemeinen Profilformen definiert werden.
Während des Profilaufbaues sieht der Entwickler in der grafischen Darstellung die Form des Bezugsprofils bzw. der Zahnstange, als auch die Profilsteigungsfunktion der Flankensegmente. Diese gibt bereits in der Entwurfsphase einen Hinweis auf die zu erwartende Größe des Blaslochs und andere Profilcharakteristika. Zum Beispiel deutet eine sehr steile Profilsteigung auf lange Flankennormalen und somit große Gleitgeschwindigkeiten. Am jeweiligen Flankenende muss ein tangentialer Übergang mit einer Profilsteigung von 0 Grad in den Kopfkreis oder Fußkreis gewährleistet sein. Die dazu nötigen Flankenparameter werden von der Software automatisch angepasst und dem Profilentwickler rückgemeldet. Ebenso muss für die Treibflanke und Dichtflanke zusammen genau eine Zahnteilung eingehalten werden. Auch dazu wurden entsprechende Hilfestellungen und Anpassungsmöglichkeiten in SV_Win eingebaut.

Ist das Flankenprofil einmal definiert, wird die vollständige Rotorverzahnung im Stirnschnitt mit den Gehäuseradien und der Eingriffslinie grafisch dargestellt. Sollten sich Unstetigkeiten im Profil oder Eingriffspunkte außerhalb der Kopfkreise ergeben, werden diese von der Software erkannt und mit einer Warnung ausgegeben. Der dargestellte Zahneingriff kann am Bildschirm gedreht und gezoomt werden, weiters stehen Exportfunktionen für den Datenaustausch zu CAD-Systemen zur Verfügung. Für die Herstellung der Fräs- und Schleifprofile werden Werkzeugdaten mit einer frei reduzierbaren Flankenpunktzahl berechnet und ausgegeben.

Aus der entworfenen Rotorverzahnung, der eingegebenen Läuferlänge und dem Verschraubungswinkel können automatisiert die Zahnlückendaten berechnet werden:
. Die Gleitgeschwindigkeiten am Flankeneingriff und an den Kopfkreisen
. Der Verlauf der Zahnlückenfläche über dem Hauptläuferdrehwinkel
. Die maximale Zahnlückenfläche mit dem zugehörigen Drehwinkel
. Der Volumenverlauf über dem Hauptläuferdrehwinkel
. Das maximale Zahnlückenvolumen mit dem entsprechenden Drehwinkel
. Die Größe des Blaslochs an der Dichtflanke
. Die Spaltlängenverläufe (Stirnspalt, Kopfspalt und Eingriffspalt)
. Der Leckspaltparameter nach Rinder

Nach der Eingabe der saugseitigen und der druckseitigen Steuerkante, sowie eines Ansaugdrucks und Gegendrucks können folgende Verdichtungsdaten entweder analytisch durch die Angabe eines Polytropenexponenten berechnet oder aus Druckmesspunkten bestimmt werden. Die Berechnung erfolgt unter der Annahme einer ideal dichten Maschine.
. Das eingebaute Volumenverhältnis zwischen den Steuerkanten
. Das innere Druckverhältnis zwischen den Steuerkanten
. Die erforderliche Lage der Steuerkante bei Erreichen des Gegendrucks
. Der Verdichtungsdruckverlauf über den Hauptläuferdrehwinkel

Mit dem berechneten Druckverlauf in den Zahnlücken und den geometrischen Verzahnungs- und Verschraubungsdaten, sowie den eingegebenen Lagerabständen können die einwirkenden Kräfte auf die Rotoren berechnet werden. Als Ausgabedaten stehen dann zur Verfügung:
. Verlauf der axialen Lagerkräfte am Hauptläufer und Nebenläufer
. Verlauf der radialen Lagerkräfte saugseitig und druckseitig HL und NL
. Betrag der Kraftkomponenten in X- und Y-Richtung aller vier Lager
. Drehmomentenverlauf am Hauptläufer und Nebenläufer ohne Flankenreibung

Alle errechneten Datenverläufe können grafisch über dem Hauptläuferdrehwinkel dargestellt und in Textdateien oder als Excel-Tabelle exportiert werden. Somit steht dem Entwickler von Sonderverzahnungen für Schraubenkompressoren eine umfassende Softwarelösung zum Profilentwurf und -vergleich hinsichtlich vieler Optimierungsforderungen zur Verfügung. Mit SV_Win können künftig Rotorprofile gezielt auf bestimmte Parameter hin optimiert werden.

Schraubenmaschine, Schraubenkompressor, Sonderverzahnung, Profilsteigungsfunktion

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