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E. Thonhofer:
"Interpolation of System Dynamics";
Betreuer/in(nen): S. Jakubek, C. Mayr; Institut für Mechanik und Mechatronik, 2011; Abschlussprüfung: 08.08.2011.

Das Problem der System-Matrix Interpolation ergibt sich aus der Schwierigkeit, nichtlineare Modelle mit Methoden der linearen Regelungstechnik zu behandeln. Es ist deshalb u ̈blich nichtlineare Systeme in Arbeitspunkten zu linearisieren und anschliessend ein Scheduling- Problem zu lo ̈sen, anstatt die Nichtlinearita ̈t direkt zu behandeln. Ein ha ̈ufig angewandter Scheduling-Ansatz besteht darin, die systembeschreibenden Matrizen linear, elementweise zu interpolieren.
Ziel dieser Arbeit war die Entwicklung einer Interpolationsmethode fu ̈r systembeschreibende Matrizen. Dabei sollen dynamische und statische Systemcharakteristika linear interpoliert werden. Systeme, welche nicht als Zustandsraumsystem sondern als U ̈bertragungsfunktion gegeben sind ko ̈nnen ebenso behandelt werden. U ̈bertragungsfunktionen ko ̈nnen leicht in Regelungsnormalform umgeschrieben werden. Die Methode erreicht, dass Systemcharak- teristika wie Eigenfrequenz und Da ̈mpfung linear interpoliert werden und stellt gleichzeitig sicher, dass das errechnete System stabil ist, wenn alle urspru ̈nglich gegebenen Systeme sta- bil sind.
Weil die dynamischen Systemeigenschaften in den Eigenwerten und Eigenvektoren der Sys- temmatrix definiert sind, basiert die Interpolationsmethode auf einer modalen Zerlegung der Systemmatrix. Um die Stabilita ̈t der gegebenen Systeme im interpolierten System zu erhal- ten, werden die Eigenwerte linear interpoliert. Die Interpolation der Eigenvektoren teilt sich in zwei Schritte: Die Interpolation der La ̈nge und die Interpolation der Lage im Raum. Die La ̈nge der Eigenvektoren wird linear interpoliert. Die Lage der Vekoren im Zustandsraum wird geometrisch interpretiert. Konjugiert komplexe Eigenvektorpaare spannen Oszillation- sebenen im Zustandsraum auf, welche u ̈ber geometrische Algebra (GA) interpoliert werden. Reelle Eigenvektoren werden so interpoliert, dass ihre relative Lage zur Oszillationsebene linear interpoliert wird. Eingangsvektoren werden u ̈ber die Zeilen der Eingangsmatrix in den Zustandsraum gemappt und ergeben die Anregung des Systems. Die Ausgangsmatrix mappt den Zustandsvektor auf den Ausgangsvektor. Deshalb werden sowohl Input- als auch Outputmatrix linear, elementweise interpoliert.
Die entwickelte Interpolationsmethode wird an zwei Beispielen demonstriert. Die Ergebnisse werden verglichen mit Ergebnissen die sich aus Interpolationsmethode am aktuellen Stand der Technik, der Matrixinterpolation, ergeben.

The problem of system matrix interpolation arises from non-linear plants and the difficulty of treating non-linearities with methods of linear control. The usual process is to linearize the plant at operating points and deal with a scheduling problem rather than the non-linearity itself. A very common approach to scheduling is to interpolate system matrices.
In this work a method for the interpolation of state space systems is introduced, which is targeted to interpolate the system characteristics linearly. Systems which are denoted as transfer functions can also be interpolated using the proposed method. Transfer functions can be easily transformed to state-space notation, e.g. controllability canonical form. On the one hand the system characteristics, such as damping ratio and eigenfrequency, are linearly interpolated and on the other hand the stability of the resulting system is ensured if the original systems are stable.
Since the system characteristics are encoded in the eigenvalues and eigenvectors the intro- duced method is based on eigenvalue decomposition of the system matrix. To ensure stability of the resulting system the eigenvalues are linearly interpolated. The interpolation of the eigenvectors is split into two parts: their length and orientation. The length is interpolated linearly, the orientation of the eigenvectors is geometrically interpreted. Conjugate complex pairs define oscillation planes in the state-space which are interpolated using Geometric Al- gebra (GA). Real valued eigenvectors are interpolated, so that their relative attitude to the vectors that form the oscillation plane is interpolated linearly. The input vector is mapped onto the state space via the rows of the input matrix, yielding the excitation of the respec- tive states. The output matrix maps the state space dimensions onto the output (vector). Consequently both are linearly interpolated.
The introduced method is tested on demonstrative examples. The results are compared with results generated by the state-of-the-art matrix coefficient interpolation.

Projektleitung Stefan Jakubek:
Christian Doppler Labor für Modellbasierte Kalibriermethoden