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A. Weninger:
"Real-time Computer Simulation of Nonlinear Audiosystems";
Supervisor: N. Görtz, G. Doblinger, R. Dallinger; Institute of Telecommunications, 2013; final examination: 02-19-2013.

The aim of this thesis is to accurately model a nonlinear analogue audio system, in particular a guitar tube preamplifier. Tubes are still considered to be state-of-the art technology in audio engineering and are used because of their soft saturating effects causing a pleasant overtone behaviour. As modern studio technology advanced, attempts have been made to provide the tone of such analogue audio systems in digital production environments. Software and hardware has been created, often using simple approximations of tube equipped gear to avoid the computational complexity that comes with a physically accurate model, for the use of this software in studio settings demands real-time capability. A goal of this thesis is, therefore, creating software capable of realtime processing yet maintaining physical and sonical accuracy.

Techniques enabling this can be classified into blackbox and whitebox techniques. The blackbox approach is based on the very promising nonlinear system theory featuring Volterra series. As an extension of linear signal processing, this theory provides an intuitive approach to system identification and filter design by input-output measurements. In this work, the nonlinear system theory is investigated with respect to the audio system in question. It is found to suffer from shortcomings regarding computational complexity as well as being prone to measurement errors.

Whitebox techniques offer a reliable, replicable way of modeling a preamplifier if the circuit diagram is known. As a proof of concept, a typical two stage tube preamplifier is modeled from circuit diagrams. To employ whitebox modeling, the internal operation of the tube and its interaction with the surrounding circuit are examined. Suitable models for tube behaviour are presented and evaluated. In addition, several ways to model an electrical network with nonlinear elements are discussed and a state space representation is used. Discretization of the resulting system with implicit methods reveals that delay-free loops are now present. The resulting nonlinear system of equations calls for numerical methods. A Newton-Raphson implementation is presented to complete the modeling from circuit diagrams.

To ensure real-time capability several optimizations are discussed and have been applied to the model, such as division of the circuit diagram into tube stages, precomputation of the nonlinearity, as well as tabulation and interpolation of time-critical parts of the model. Special attention is turned to the interconnection of the cascaded tube stages. Here the idea of employing loading currents and iterative methods to minimize the error of imperfect loading is analyzed.

The results of this thesis show that a model obtained from physical background (circuit diagrams) allows for implementation of a full preamplifier running in real-time. While the linear network is represented perfectly in the state-space model, the result relies heavily on an accurate description of the tube currents. The iterative procedure that is employed to minimize the error due to loading effects present in a real circuit, shows that, if future corrections are anticipated by an overcorrection parameter, a sufficient convergence can be achieved within two iterations of the model.

Ziel dieser Arbeit war es herauszufinden, wie ein analoges nichtlineares Audiosystem am Digitalrechner möglichst genau modelliert werden kann. Als solches wurde ein Röhrenvorverstärker zur Verstärkung einer E-Gitarre gewählt. Elektronenröhren gelten bis heute im Audioverstärkerbereich als State-of-the-Art Technologie und werden aufgrund ihrer Sättigungscharakteristik verwendet, welche nicht abrupt wirkt, sondern einen sanften, kurvigen Verlauf hat. Mit dem Aufkommen moderner Studiotechnologie wurden zahlreiche Versuche gestartet den Sound solcher Analogsysteme mit Hilfe von Software- oder Hardwaresystemen digital zu imitieren. Oftmals sind dabei sehr einfache Annäherungen und Heuristiken verwendet worden, um dem enormen Rechenaufwand bei der Nachbildung solcher Verstärker aus dem Weg zu gehen, da die sinnvolle Verwendung dieser Systeme in einer Studioumgebung Echtzeitfähigkeit erfordert. Deshalb ist ein weiteres Ziel dieser Arbeit, eine Software zu entwickeln, die sowohl echtzeitfähig ist, als auch Klangqualitäten des Analogsystems möglichst akkurat nachbildet. Letzteres soll dadurch erreicht werden, dass das Modell möglichst nahe am Originalsystem orientiert ist.

Die Techniken die dafür verwendet werden, können in Whitebox- und Blackboxtechniken unterteilt werden. Die Blackboxmodellierung basiert auf der sehr vielversprechenden Theorie nichtlinearer Systeme. Diese ist eine Erweiterung der linearen Systemtheorie und ermöglicht eine Systemidentifikation mittels Input-Output Analyse. Die Blackboxmodellierung wird in dieser Arbeit untersucht in Bezug auf Röhrenvorverstärker für Gitarren. Es werden Probleme im Zusammenhang mit der Komplexität und Anfälligkeit für Messfehler untersucht.

Whiteboxtechniken bieten einen nachvollziehbaren Weg an, einen Vorverstärker zu modellieren, vorausgesetzt der Schaltplan ist bekannt. Als proof-of-concept wurde auf Basis eines Schaltplanes ein typischer Vorverstärker mit zwei Röhrenvorstufen und einem Tonestack modelliert.

Um Whiteboxtechniken erfolgreich anzuwenden, werden zunächst die internen Vorgänge in der Röhre und die Interaktion mit dem umgebenden Schaltkreis untersucht. Mehrere mathematische Modelle für das Verhalten der Elektronenröhre werden vorgestellt und evaluiert. Weiters werden verschiedene Möglichkeiten elektrische Netzwerke mit nichtlinearen Elementen zu modellieren, diskutiert und eine Zustandsraumdarstellung gewählt. Die Diskretisierung des Modells mit impliziten Methoden ergibt, dass verzögerungsfreie Rückwirkungszweige auftreten. Das resultierende nichtlineare Gleichungssystem muss für jedes Sample gelöst werden. Ein Newton-Raphson Algorithmus kommt zur Lösung des Problems zur Anwendung.

Um Echtzeitfähigkeit zu gewährleisten, werden diverse Optimierungen diskutiert und am Modell angewendet: die Trennung des Verstärkers in einzelne Röhrenstufen, Vorabberechnung des nichtlinearen Verhaltens im Schaltkreis sowie Interpolationstechniken für zeitkritische Teile des Modells. Ein besonderes Augenmerk wird auf die Verbindung der Röhrenstufen gelegt; um für Lasteffekte zu kontrollieren, werden Lastströme verwendet. Methoden, um den Fehler durch die Trennung der Röhrenstufen zu minimieren, werden diskutiert.

Die Ergebnisse dieser Arbeit zeigen, dass es möglich ist, einen Röhrenvorverstärker auf Basis von Schaltplänen nachzubilden und in Echtzeit zu auszuführen. Das Ergebnis hängt wesentlich von der Qualität und Art der Beschreibung der Vorgängen im Inneren der Röhren ab. Durch iterative Methoden ist es möglich, den Fehler, entstanden durch Ignorieren der Lasteffekte, zu korrigieren. Durch einen Überkorrekturparameter, mit dessen Hilfe Lasteffekte antizipiert werden können, wird eine hohe Konvergenzgeschwindigkeit erreicht. Bereits zwei Iterationen des Modells lassen dieses zufriedenstellend zum realen Verhalten konvergieren.