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T. Führer:
"Zur Kopplung von finiten Elementen und Randelementen";
Supervisor, Reviewer: D. Praetorius, E. Stephan; Institute for Analysis and Scientific Computing, 2014; oral examination: 2014-06-26.

In the frame of nonlinear Laplace- and Lame-type transmission problems, we consider the symmetric coupling as well as certain variants of the non-symmetric coupling of FEM and BEM. First, we introduce a unified framework, called implicit stabilization, that allows us to prove solvability and stability of the mentioned coupling methods, even in the presence of certain monotone non-linearities in the interior domain. This theory includes and even extends the well-known stability results for the symmetric coupling and extends the existing theory for non-symmetric couplings. Unlike prior work, we remove any assumption on the given mesh like, e.g., being sufficiently fine along the boundary. Moreover, our work provides the first mathematical stability results for non-symmetric FEM-BEM couplings and nonlinear problems. Second, we consider adaptive mesh-refining methods. Mainly, we are interested in the convergence of the corresponding adaptive algorithm steered with the weighted-residual error estimator, where we give the first mathematically reliable convergence results. Additionally, we analyze a gradient recovery estimator (ZZ-estimator) in terms of reliability and efficiency. Third, we consider preconditioning of Galerkin matrices arising from BEM operators on locally refined triangulations. It is well-known that the condition number of the unpreconditioned Galerkin matrices grows if the mesh is refined, and additionally hinges on the ratio between the maximal and minimal mesh-size. Within the framework of additive Schwarz methods, we introduce a local multilevel diagonal preconditioner for the hypersingular operator in 2D and 3D, and for the weakly-singular integral operator in 2D and prove that the condition numbers of the preconditioned systems are optimal, i.e., independent of the mesh-size. Fourth, we analyze a (2x2)-block-diagonal preconditioner for the Galerkin matrix of the coupling systems. The two blocks correspond to preconditioners for the FEM part and the BEM part, respectively. Provided that we have optimal preconditioners for the FEM part and the BEM part, we prove optimality of the block-diagonal preconditioner for symmetric as well as non-symmetric coupling methods. In particular, such a result applies for the local multilevel diagonal preconditioners and provides, at least for 2D problems, optimal preconditioners for the FEM-BEM couplings under consideration. Throughout, we give various numerical examples that underline our theoretical findings.

Für nichtlineare Laplace- und Lame-Transmissionsprobleme betrachten wir die symmetrische als auch verschiedene Varianten der nicht-symmetrischen Kopplung von FEM und BEM. Zuerst führen wir das neue Konzept der impliziten Stabilisierung ein, welches uns erlaubt, Lösbarkeit und Stabilität aller erwähnten Kopplungsmethoden, auch für stark monotone Nichtlinearitäten im inneren Gebiet, zu zeigen. Unsere Theorie enthält und verallgemeinert alle bereits bekannten Resultate zur Stabilität der symmetrischen Kopplung und erweitert die bestehende Theorie zu den nicht-symmetrischen Kopplungen. Im Gegensatz zu früheren Arbeiten, benötigen wir keine Annahmen an das gegebene Netz, so wie z.B., dass das Netz am Rand hinreichend fein ist. Ferner gibt diese Arbeit ein erstes mathematisches Fundament der nicht-symmetrischen Kopplung für nichtlineare Probleme. Danach behandeln wir adaptive Methoden. Unser Hauptaugenmerk liegt dabei in der Konvergenz des mit dem gewichteten Residualschätzer gesteuerten adaptiven Algorithmus, und wir geben den ersten (und bisher einzigen) Beweis für die Konvergenz der adaptiven Kopplung. Zusätzlich untersuchen wir einen ZZ-Fehlerschätzer auf Zuverlässigkeit und Effizienz. Des weiteren behandeln wir die Vorkonditionierung von Galerkin-Matrizen, welche von BEM Operatoren auf lokal verfeinerten Triangulierungen stammen. Es ist bekannt, dass die Konditionszahlen der nicht-vorkonditionierten Galerkin-Matrizen steigen, sobald das Netz verfeinert wird und darüber hinaus von dem Verhältnis der maximalen und minimalen Netzweite abhängen. Im Framework von Additiv-Schwarz Zerlegungen definieren wir einen lokalen Multilevel Diagonalvorkonditionierer für den hypersingulären Operator in 2D und 3D und für den schwach-singulären Operator in 2D. Wir beweisen Optimalität dieser Vorkonditionierer, d.h. die Konditionszahlen der vorkonditionierten Systeme hängen nicht mehr von der Netzweite ab. Zum Schluss analysieren wir einen (2x2)-Blockdiagonal-Vorkonditionierer für die Galerkin-Matrix der erwähnten FEM-BEM Kopplungen. Diese zwei Blöcke entsprechen dabei Vorkonditionierern für den FEM Teil und den BEM Teil. Sind diese Vorkonditionierer optimal, so zeigen wir, dass der Blockdiagonal-Vorkonditionierer für die symmetrische und nicht-symmetrische FEM-BEM Kopplung optimal ist. Insbesondere gilt so ein Resultat für die lokalen Multilevel Diagonalvorkonditionierer und liefert daher, zumindest für Probleme in 2D, optimale Vorkonditionierer für die betrachteten FEM-BEM Kopplungen. In der vorliegenden Arbeit finden sich zahlreiche numerische Beispiele, welche die genannten theoretischen Resultate bestätigen.

http://www.asc.tuwien.ac.at/~dirk/download/thesis/phd/fuehrer2014.pdf