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B. Skritek:
"On the optimal control of heterogeneous systems";
Supervisor, Reviewer: V.M. Veliov, S. Anita; E105-4, 2015; oral examination: 2015-04-22.

Heterogeneity plays an important role in modeling demographic, epidemic, biological and economical
processes. The mathematical formulation of such systems can vary widely: age-structured
systems, trait-structured systems, or systems with endogenously changing domains are some of the
most common. Controls in such systems may be non-distributed (targeting the whole system), or
distributed (targeting one particular part of the system); some have to further satisfy constraints,
such as integral constraints. This thesis investigates necessary optimality conditions of Pontryagin´s
type involving a Hamiltonian functional.
At first, infinite horizon age-structured systems are analyzed. They are governed by partial differential
equations with boundary conditions, coupled by non-local integral states. Despite the
numerous applications in population dynamics and economics, which are naturally formulated on
an infinite horizon, a complete set of optimality conditions is missing, because of the difficult task
of defining appropriate transversality conditions.
For problems on the infinite horizon, the objective value may become infinite. Therefore,
the necessary optimality conditions are derived for controls that are weakly overtaking optimal.
To prove the result, a new approach (recently developed for ordinary differential equations by S.
Aseev and V. Veliov) has been used for a system affine in the states, but non-linear in the controls
and with a non-linear objective function.
Furthermore, a problem which arises in demography is studied. Due to a low birth rate, many
countries need immigration to sustain their population size. The age of the immigrants has severe
implications on the stability of social security systems, therefore, the optimal age-pattern of
immigrants is studied. The problem is on the infinite time horizon with a rather specific equality
constraint. It is shown that there exists an optimal solution (although the problem is non-concave),
and that this optimal control is time-invariant. A numerical case study is carried out for the Austrian
population.
A second focus lies on heterogeneous systems with a fixed domain of heterogeneity, which are
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used in epidemiology to describe the spreading of contagious diseases, but are also employed in
economics. While necessary optimality conditions for problems on the finite horizon are known,
a Hamiltonian formulation was missing. A Hamiltonian functional is introduced and its constancy
shown for autonomous problems. This functional also allows to reproduce the primal and the
adjoint system. With explicitly defined solutions of the adjoint system (using the above mentioned
approach), it is proved that for a problem on the infinite horizon, any weakly overtaking optimal
control maximizes this Hamiltonian. The model is non-linear, and the non-local integral states
(which do not depend explicitly on the control) may enter the objective function and the differential
equation of the distributed states.
The third type of heterogeneous systems considered in this thesis deals with models in which the
domain of heterogeneity changes endogenously. Such systems arise, for example, for a profitmaximizing
company which can invest to improve existing products, or invest in research to increase
the variety of products. A maximum principle for such systems was proved by A. Belyakov,
Ts. Tsachev, and V. Veliov. However, the strong form, in which the differential inclusion for the
adjoint variable collapses to a differential equation, holds only under an a priori regularity assumption
on the optimal control. It is shown for a certain optimal control problem arising in economics,
that this regularity assumption is fulfilled. Additionally, in case of stationary data, it is proved that
the Hamiltonian is constant along the optimal control.

Heterogenit¨at spielt eine wichtige Rolle bei der Modellierung demographischer, epidemiologischer,
biologischer und wirtschaftlicher Prozesse. Die mathematische Formulierung solcher Systeme
kann viele verschiedene Formen annehmen: Altersverteilte Systeme, Merkmalsverteilte Systeme,
und Systeme mit sich endogen ver¨andernder Domain sind einige der am weitesten verbreiteten
Systeme. Kontrollen in solchen Problemen k¨onnen nichtverteilt (sie wirken auf das ganze
System), oder verteilt sein (sie wirken nur auf einen bestimmten Teil des Systems); manchmal
m¨ussen sie weitere Bedingungen erf¨ullen, wie zum Beispiel Integralbeschr¨ankungen. Diese Dissertation
untersucht notwendige Optimalit¨atsbedingung nach Art von Pontryagin, die ein Funktional
beinhalten, das der klassischen Hamilton-Funktion nahe kommt.
Im ersten Teil dieser Arbeit werden altersverteilte Systeme auf dem unendlichen Zeithorizont
untersucht. Sie werden beschrieben durch eine partielle Differentialgleichung mit Randbedingungen,
die durch nicht-lokale Integralzust¨ande gekoppelt ist. Trotz der unz¨ahligen Anwendungen in
Demographie und Wirtschaft die naturgem¨aß auf einem unendlichen Zeithorizont definiert sind
fehlen in der Literatur komplette Optimalit¨atsbedingung aufgrund der Schwierigkeit passende
Transversalit¨atsbedingung zu definieren.
Bei Problemen auf einem unendlichen Zeithorizont kann die Zielfunktion unbeschr¨ankt sein.
Deshalb werden die notwendigen Optimalit¨atsbedingungen f¨ur Kontrollen hergeleitet, die schwach
einholend optimal sind. F¨ur ein System das affin in den Zust¨anden aber nichtlinear in den Kontrollen
ist und eine nichtlineare Zielfunktion besitzt wird ein neuer Ansatz verwendet, der k¨urzlich
von S. Aseev und V. Veliov f¨ur gew¨ohnliche Differentialgleichungen entwickelt wurde.
Weiters wird ein demographisches Problem studiert. Aufgrund einer niedrigen Geburtenrate
ben¨otigen viele Staaten Immigration um die Bevlkerungsgr¨oße konstant zu halten. Das Alter
der Immigranten hat wesentliche Auswirkungen auf die Stabilit¨at der Sozialversicherungssysteme,
weshalb die optimale Altersverteilung von Immigranten analysiert wird. Das Problem ist auf
einem unendlichen Zeithorizont mit einer eher spezifischen Gleichungsbeschr¨ankung. Es wird ge-
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zeigt, dass eine optimalen Kontrolle existiert (obwohl das Problem nicht konkav ist), und dass
sie zeitinvariant ist. F¨ur die ¨osterreichische Bev¨olkerung wird auerdem eine numerische Fallstudie
durchgefhrt.
Ein zweiter Fokus liegt auf heterogenen Systemen mit einer festgelegten Domain der Heterogenit
¨at, welche in der Epidemiologie verwendet werden um die Ausbreitung von ansteckenden
Krankheiten zu beschreiben, aber auch in wirtschaftlichen Fragestellungen Anwendung finden.
Notwendige Optimalit¨atsbedingungen auf dem endlichen Zeithorizont sind bekannt, aber eine
Hamiltonformulierung hat bisher gefehlt. Ein Hamilton-¨ahnliches Funktional wird definiert und
es wird bewiesen, dass es bei autonomen Problemen konstant entlang der optimalen Kontrolle ist.
Dieses Funktional erm¨oglicht auch das primale und das duale System zu reproduzieren. Mit einer
explizit definierten L¨osung des adjungierten Systems (unter Verwendung der oben erw¨ahnten
Methode) wird bewiesen, dass f¨ur ein Problem auf dem unendlichen Zeithorizont jede schwach
einholend optimale Kontrolle dieses Hamiltonfunktional maximiert. Das Modell ist nichtlinear mit
nicht-lokalen Integralzust¨anden (welche unabh¨angig von den Kontrollen sind) die in die Zielfunktion
und die Differentialgleichung des verteilten Zustands eingehen.
Die dritte Art von heterogenene Systemen die in dieser Dissertation behandelt werden sind
Modelle bei denen sich die Domain der Heterogenit¨at endogen ver¨andert. Solche Systeme treten
zum Beispiel auf wenn profitmaximierende Firmen in die Verbesserung existierender Produkte
investieren k¨onnen, oder in die Entwicklung neuer Produkte. Ein Maximumsprinzip f¨ur solche
Systeme wurde von A. Belyakov, Ts. Tsachev und V. Veliov bewiesen. In der starken Form, in
der die Differentialinklusion im dualen System zu einer Differentialgleichung kollabiert, gilt es
jedoch nur unter einer a priori Regularit¨atsannahme an die optimale Kontrolle. F¨ur ein wirtschaftliches
Kontrollproblem wird gezeigt, dass diese Regularit¨atsannahmen erf¨ullt sind. Zus¨atzlich, im
Falle station¨arer Daten, wird gezeigt dass das Hamiltonfunktional konstant entlang der optimalen
Kontrolle ist.