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M. Ruggeri:
"Coupling and numerical integration of the Landau-Lifshitz-Gilbert equation";
Supervisor, Reviewer: D. Praetorius, S. Bartels, A. Jüngel; Institute for Analysis and Scientific Computing, 2016; oral examination: 2016-11-22.

The understanding of the magnetization dynamics plays an essential role in the design of many technological applications, e.g., magnetic sensors, actuators, storage devices, electric motors, and generators. The availability of reliable numerical tools to perform large-scale micromagnetic simulations of magnetic systems is therefore of fundamental importance. Time-dependent micromagnetic phenomena are usually described by the Landau-Lifshitz-Gilbert (LLG) equation. The numerical integration of the LLG equation poses several challenges: strong nonlinearities, a nonconvex pointwise constraint, an intrinsic energy law, which combines conservative and dissipative effects, as well as the presence of nonlocal field contributions, which prescribes the coupling with other partial differential equations (PDEs). This dissertation is concerned with the numerical analysis of a tangent plane integrator for the LLG equation. The method is based on an equivalent reformulation of the equation in the tangent space, which is discretized by first-order finite elements and requires only the solution of one linear system per time-step. The pointwise constraint is enforced at the discrete level by applying the nodal projection mapping to the computed solution at each time-step. In this work, we provide a unified abstract analysis of the tangent plane scheme, which includes the effective discretization of the field contributions. We prove that the sequence of discrete approximations converges towards a weak solution of the problem. Under appropriate assumptions, the convergence is unconditional, i.e., the numerical analysis does not require to impose any CFL-type condition on the time-step size and the spatial mesh size. Moreover, we show that a fully linear projection-free variant of the method preserves the (unconditional) convergence result. One particular focus of this work is on the efficient treatment of coupled systems, for which we show that an approach based on the decoupling of the time integration of the LLG equation and the coupled PDE is very attractive in terms of computational cost and still leads to time-marching algorithms that are unconditionally convergent. As an application of the abstract theory, we analyze several extensions of the micromagnetic model for the simulation of spintronic devices. These range from extended forms of the LLG equation to more involved coupled systems, in which, e.g., the nonlinear coupling with a diffusion equation, which describes the evolution of the spin accumulation in the presence of spin-polarized currents, is considered. Numerical experiments support our theoretical findings and demonstrate the applicability of the method for the simulation of practically relevant problem sizes.

Das Verständnis des dynamischen Verhaltens der Magnetisierung spielt beim Design vieler technologischer Anwendungen - z.B. magnetischer Sensoren, Aktoren, Datenspeicher, Elektromotoren und elektrischer Generatoren - eine essentielle Rolle. Die Verfügbarkeit zuverlässiger numerischer Methoden für die umfassende Simulation von magnetischen Systemen ist dazu sehr wichtig, um die kosten- und zeitintensive Produktion von Prototypen zu vermeiden. Zeitabhängige mikromagnetische Phänomene werden üblicherweise durch die Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung (LLG-Gleichung) beschrieben. Die numerische Integration der LLG-Gleichung führt auf einige mathematische Herausforderungen: Nichtlinearitäten, eine nichtkonvexe punktweise Nebenbedingung, ein Energieerhaltungsgesetz und nichtlokale Effekte, die die Kopplung mit anderen partiellen Differentialgleichungen notwendig machen. Diese Arbeit befasst sich mit der numerischen Analyse des sogenannten Tangent-Plane-Verfahrens für die LLG-Gleichung. Diese Methode basiert auf der äquivalenten Formulierung der Gleichung im Tangentialraum, die durch ein Finite-Elemente-Verfahren erster Ordnung diskretisiert wird. Pro Zeitschritt muss bei diesem Verfahren ein lineares Gleichungssystem gelöst werden. Die punktweise Nebenbedingung der diskreten Lösung wird durch die knotenweise Projektion auf die Einheitssphäre sichergestellt. In dieser Arbeit erweitern wir die Analysis des Tangent-Plane-Verfahrens. Wir beweisen, dass die Folge der Näherungslösungen gegen eine schwache Lösung der LLG-Gleichung konvergiert. Unter gewissen Voraussetzungen konvergiert das Verfahren unbedingt, d.h. in der numerischen Analysis muss keine CFL-Bedingung zwischen der Zeitschrittweite und Ortsgitterweite gefordert werden. Außerdem zeigen wir, dass das Verfahren ohne nodale Projektion ebenfalls unbedingt konvergiert. Ein zentrales Thema dieser Arbeit ist die Behandlung einiger gekoppelter Systeme. Wir erweitern die Diskretisierung der LLG-Gleichung auf diese Kopplungen. Das resultierende, unbedingt konvergente Verfahren entkoppelt die Zeitintegration der LLG-Gleichung und der gekoppelten Gleichung, was zu einem günstigeren Rechenaufwand führt. Als Anwendung analysieren wir einige Erweiterungen des mikromagnetischen Modells in der Spintronik. Wir betrachten erweiterte Formen der LLG-Gleichung sowie (nichtlineare) Kopplungen der LLG-Gleichung mit einer Diffusionsgleichung für die Spin-Akkumulation. Numerische Experimente bestätigen die theoretischen Resultate und damit die Anwendbarkeit der entwickelten Algorithmen auf die Simulation praktisch relevanter Problemgrößen.

http://publik.tuwien.ac.at/files/publik_252806.pdf