[Back]

A. Haberl:
"On adaptive FEM and BEM for indefinite and nonlinear problems";
Supervisor, Reviewer: D. Praetorius, A. Bespalov, T. Betcke; Institute for Analysis and Scientific Computing, 2018; oral examination: 2018-04-24.

The goal of this work is to generalize the analysis of adaptive algorithms for
finite element methods (FEM) and boundary element methods (BEM) from elliptic
problems, satisfying the setting of the Lax-Milgram theorem, to certain classes
of elliptic indefinite and nonlinear problems. For each problem class, based on
an a-posteriori error estimator, we introduce an adaptive algorithm and prove
that these algorithms do not only lead to linear convergence, but also guarantee
optimal algebraic convergence behavior of the underlying error estimator. The
thesis is split into two parts, where each part analyzes one specific problem
class in an abstract framework. This general approach allows to formulate
so-called axioms of adaptivity for the error estimator as well as the underlying
mesh-refinement strategy, under which optimal algebraic convergence can be
guaranteed.

First, we consider indefinite and compactly perturbed elliptic problems. This
problem class covers general diffusion problems with convection and reaction
and, in particular, the Helmholtz equation. For a standard conforming FEM and
BEM discretization by piecewise polynomials, usual duality arguments show that
the underlying triangulation has to be sufficiently fine to ensure the existence
and uniqueness of the Galerkin solution. Extending the abstract approach of existing
works, we prove that adaptive mesh-refinement is capable of overcoming this
preasymptotic behavior and eventually leads to convergence with optimal algebraic
rates. Unlike previous works, one does not have to deal with the a-priori
assumption that the initial mesh is sufficiently fine. Due to stabilizing effects,
the adaptive algorithm can, in particular, overcome possibly pessimistic restrictions
on the meshes. As an application of the abstract framework, we prove optimal algebraic
convergence rates for adaptive FEM.

Further, we show inverse estimates for the most important boundary integral operators
associated with the Helmholtz equation, which generalizes the existing results for
the Laplace equation to arbitrary wavenumbers. This allows us to give a first prove
of optimal convergence rates for adaptive BEM for the Helmholtz equation. One
particular strength of the boundary element methods is, that it allows for a
higher-order point-wise approximation of the solution. As an application of the prior
analysis, we generalize existing results for the elliptic case and prove optimal
convergence behavior with respect to an a-posteriori computable bound for the point
error of the Helmholtz equation.


In the second part, we focus on nonlinear PDEs with strongly monotone operators.
Unlike prior works, the analysis includes the iterative and inexact solution of the
arising discrete nonlinear systems by means of the Picard iteration. We also consider
an iterative PCG-solver for the invoked linear system in the computation of each Picard
step. Using nested iteration, we show an improved linear convergence result as well as
optimal algebraic convergence behavior of the underlying error estimator. Improving
existing results, we also prove optimal convergence rates with respect to the cumulative
computational costs of the adaptive algorithm.

Das Ziel dieser Arbeit ist die Erweiterung der Analysis von adaptiven Algorithmen
für Finite Elemente Methoden (FEM) und Randelementmethoden (BEM) von elliptischen
Problemen im Rahmen des Lax-Milgram Lemmas zu elliptisch indefiniten und nichtlinearen
partiellen Differentialgleichungen. Diese unterschiedlichen Problemklassen teilen die
Arbeit in zwei Teile. Basierend auf einem a-posteriori Fehlerschätzer formulieren wir
jeweils einen adaptiven Algorithmus, welcher neben linearer Konvergenz auch zu
optimalen Konvergenzverhalten des zugrunde liegenden Fehlerschätzers führt. Die Analysis
bedient sich dabei eines komplett abstrakten Rahmens. Dieser erlaubt es, essentielle
und hinreichende Eigenschaften des Fehlerschätzers und der zugrunde liegenden
Netzverfeinerung zu bestimmen, welche in weiterer Folge optimale Konvergenzraten und
optimale Komplexität garantieren.

Der Fokus des ersten Teils liegt auf kompakt gestörten Problemen. Diese Problemklasse
beinhaltet allgemeine Diffusionsprobleme mit Konvektion und Reaktion, und im speziellen
auch die Helmholtz-Gleichung. In bisherigen Resultaten für FEM und BEM mit stückweisen
polynomiellen Ansatz- und Testräumen, wird mit Hilfe des dualen Problems die Existenz
und Eindeutigkeit von diskreten Lösungen für hinreichend feine Netze garantiert. Wie
jedoch der abstrakte Rahmen dieser Arbeit zeigt, ist diese pessimistische a-priori
Annahme bzw. Einschränkung nicht notwendig. Die adaptive Netzverfeinerung ist aufgrund
von Stabilisierungseffekten in der Lage diese Startphase zu überwinden und liefert,
unabhängig von der Netzweite des Startnetzes, asymptotisch optimales Abklingverhalten
des Fehlerschätzers. Als Anwendung der abstrakten Analysis beweisen wir optimale Konvergenz
von adaptiver FEM für kompakt gestörte elliptische Probleme.

Des Weiteren zeigen wir inverse Ungleichungen für alle fundamentalen Randintegraloperatoren
der Helmholtz-Gleichung, welche bestehende Resultate für den Laplace Operator auf beliebige
Wellenzahlen verallgemeinern. Mit Hilfe dieser Abschätzung, gibt die Arbeit einen ersten
Beweis für die Optimalität der adaptiven Randelementmethode für die Helmholtz-Gleichung.
Eine andere Stärke der BEM ist die Konvergenz des punktweisen Fehlers mit höherer Ordnung.
Basierend auf Resultaten für elliptische Gleichungen zeigen wir zusätzlich optimales
Konvergenzverhalten für eine berechenbare obere Schranke für den Punktfehler.

Im zweiten Teil betrachten wir nichtlineare Differentialgleichungen mit stark monotonen
Operatoren. Im Kontrast zu bestehenden Arbeiten betrachtet der abstrakte Rahmen neben
einer Picard-Iteration für das auftretende nichtlineare diskrete Problem, auch einen
iterativen PCG-Löser für lineare Gleichungssysteme. Zusätzlich zu optimalem
Konvergenzverhalten des Fehlerschätzers im Hinblick auf die Freiheitsgrade der verwendeten
Diskretisierung zeigen wir auch Optimalität in Bezug auf den kumulativen Rechenaufwand des
adaptiven Algorithmus.

finite element method / boundary element method / FEM / BEM / a-posteriori error analysis / adaptive algorithm / optimal convergence rates

http://www.asc.tuwien.ac.at/~praetorius/download/thesis/phd/haberl2018.pdf