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J. Preininger:
"Metric regularity and approximations of generalized equations with applications to optimal control";
Supervisor, Reviewer: V.M. Veliov, U. Felgenhauer, M. Quincampoix; E105 Institut für Stochastik und Wirtschaftsmathematik, 2018; oral examination: 2018-06-12.

The aim of this thesis is to study regularity properties and approximations of generalized equations and to apply them for optimal control problems. The thesis is cumulative and consists of four published or submitted for publication papers.

The first one investigates the convergence properties of Newton-type methods for solving generalized equations. Classical results use the properties of metric regularity or strong metric regularity of the generalized equation at the solution to show convergence of the Newton method when the initial point is in a neighborhood of the solution. In contrast theorems of Kantorovich-type impose regularity conditions on the initial point rather than the solutions and therefore allow an a priori convergence analysis which is more useful for practical purposes. A known result of Kantorovich-type for generalized equations requires the single-valued part of the generalized equations to be differentiable with Lipschitz continuous derivative. A new nonsmooth version of this result showing linear convergence of the Newton method is proved.

The second paper introduces uniform versions of metric regularity and strong metric regularity on compact sets and uses them to analyze two path-following schemes for tracking a solution trajectory of a differential generalized equation, which use ideas of the Euler/Heun method and the Newton method simultaneously.

The third paper studies the necessary optimality condition for solutions of general optimal control problems in Bolza form obtained by the Pontryagin maximum principle. This condition can be rewritten as a generalized equation in suitable Sobolev spaces. Hence results about Newton-type methods from the first part can be used for solving these problems. Known results showing regularity mostly assume continuity of the optimal control which is not fulfilled for some of the most basic Bolza problems, namely those that are linear in control. Usually these problems have optimal controls of bang-bang type, i.e. they contain a finite number of switching points where the control is discontinuous. Under weak convexity assumptions metric subregularity as well as strong bimetric regularity of the generalized equations associated with these problems are proved and used to show a convergence result about the Newton method applied to such problems.

The final paper deals with the gradient projection method which, among other things, can be used to solve the linearized problems which appear when using the Newton method on the generalized equations obtained in the previous part. A new result about the convergence speed of the gradient projection method in case of bang-bang controls is proved and some analytical and numerical examples are given.

Ziel dieser Arbeit ist es, Regularitätseigenschaften und Approximationen von verallgemeinerten Gleichungen zu untersuchen und auf optimale Steuerungsprobleme anzuwenden. Die Arbeit ist kumulativ und besteht aus vier veröffentlichten oder zur Veröffentlichung eingereichten Artikeln.

Der erste untersucht die Konvergenzeigenschaften von Newton- und Newton-ähnlichen Verfahren zur Lösung verallgemeinerter Gleichungen. Klassische Ergebnisse verwenden die Eigenschaften der metrischen Regularität oder der starken metrischen Regularität der verallgemeinerten Gleichung im Lösungspunkt, um die Konvergenz der Newton-Methode zu zeigen, wenn der Anfangspunkt in einer Umgebung der Lösung liegt. Im Gegensatz dazu verwenden Theoreme vom Kantorovich-Typ Regularitätsbedingungen im Anfangspunkt und nicht im Lösungspunkt und erlauben daher eine a priori Konvergenzanalyse, die für praktische Zwecke nützlicher ist. Ein bekanntes Kantorovich-Theorem für verallgemeinerte Gleichungen erfordert, dass der einwertige Teil der verallgemeinerten Gleichungen differenzierbar mit Lipschitz-stetiger Ableitung ist. Hier wird eine neue, nicht glatte Version dieses Ergebnisses, mit linearer Konvergenzgeschwindigkeit bewiesen.

Der zweite Artikel führt uniforme Versionen von metrischer Regularität und starker metrischer Regularität auf kompakten Mengen ein und verwendet diese, um zwei path-following schemes zum Auffinden einer Lösungstrajektorie einer differenziellen verallgemeinerten Gleichung (differential generalized equation), die gleichzeitig die Ideen des Euler/Heun-Verfahrens und des Newton-Verfahrens benutzen, zu analysieren.

Der dritte Artikel untersucht die notwendige Optimalitätsbedingung für Lösungen von allgemeinen optimalen Steuerungsproblemen in Bolza-Form, die durch das Pontryagin-Maximum-Prinzip erhalten werden. Diese Bedingung kann als verallgemeinerte Gleichung in geeigneten Sobolev-Räumen umgeschrieben werden. Daher können Ergebnisse über das Newton-Verfahren aus dem ersten Teil zur Lösung dieser Probleme verwendet werden. Bekannte Ergebnisse, die Regularität zeigen, nehmen meist die Stetigkeit der optimalen Steuerung an, die für einige der grundlegendsten Bolza-Probleme nicht erfüllt ist, nämlich jenen, die in der Steuerung linear sind. Üblicherweise haben diese Probleme optimale Steuerungen vom Bang-Bang-Typ, d.h. sie enthalten eine endliche Anzahl von switching points, an denen die Steuerung unstetig ist. Unter schwachen Konvexitätsannahmen werden die metrische Subregularität sowie die starke bimetrische Regularität der verallgemeinerten Gleichungen dieser Probleme bewiesen und verwendet, um ein Ergebnis zur Konvergenz der Newton-Methode für diese Probleme zu zeigen.

Der letzte Artikel beschäftigt sich mit der Gradientenprojektionsmethode, die unter anderem dazu verwendet werden kann, die linearisierten Probleme zu lösen, die auftreten, wenn das Newton-Verfahren auf die im letzten Teil erhaltenen verallgemeinerten Gleichungen angewendet wird. Ein neues Ergebnis zur Konvergenzgeschwindigkeit der Gradientenprojektionsmethode im Falle von Bang-Bang-Steuerungen wurde nachgewiesen und einige analytische und numerische Beispiele angegeben.

optimal control/Newton´s method/generalized equations/variational inequalities/metric regularity/bang-bang controls

https://publik.tuwien.ac.at/files/publik_272871.pdf