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F. Dellinger:
"Optimal Discretization of Smooth Surfaces";
Betreuer/in(nen): H. Pottmann; Institut für Diskrete Mathematik und Geometrie, 2019; Abschlussprüfung: 05.04.2019.

In der vorliegenden Arbeit untersuche ich die Diskretisierung glatter Flächen durch polyhedrale Flächen mit ebenen Facetten. Dabei soll die polyhedrale Fläche hinsichtlich ihrer Knickenergie minimiert werden. Hierbei ist die Knickenergie definiert als die Summe über alle Beträge der Winkel zwischen zwei angrenzenden Flächen, gewichtet mit der Länge der jeweils gemeinsamen Kante. Dieser Term lässt sich als diskrete Version einer totalen absoluten Krümmung interpretieren. Lässt man die Feinheit der Diskretisierung gegen Null gehen, so zeigt sich, dass ein Minimum der Knickenergie erreicht wird, wenn die Kanten entlang der Hauptkrümmungslinien der glatten Fläche verlaufen. Das lässt die Schlussfolgerung zu, dass eine polyhedrale Fläche mit minimaler Knickenergie aus ebenen Rechtecken bestehen sollte. Ein ähnliches Problem mit einer isotropen Version der Knickenergie wurde bereits in Martin Kilian (2017) behandelt. Der isotrope Fall lässt sich analog zum Volumenbeziehungsweise Kostenminimierungsproblem einer tragenden Struktur formulieren, wie es bei Michell (1904) auftritt. Die auftretenden Parallelen zwischen den Michell Strukturen und polyhedralen Flächen minimalen Knicks suggerieren, dass auch die Flächen minimalen Knicks physikalisch optimale Eigenschaften aufweisen.

In this thesis we aim to represent smooth geometric shapes with polyhedral surfaces with planar faces. The polyhedral surface is optimized regarding the dihedral angle energy. Here the dihedral angle energy is defined as the sum of all absolute values of dihedral angles between adjacent faces weighted with the length of the common edge of the regarding faces. This energy term can be interpreted as a discrete version of a total absolute curvature. In the limit case of a subdivision process we find that the dihedral angle energy is minimal if the edges of the polyhedral surface follow the principal curvature lines of the underlying smooth surface. Instead of the euclidean dihedral energy one could also minimize the isotropic dihedral angle energy, where length and angle are replaced by isotropic length and isotropic angle. This has been done in Martin Kilian (2017) and will be examined in this thesis as well. The isotropic case can be formulated to match the minimization problem dealt with in Michell (1904), where a load bearing structure is optimized regarding its volume. The parallels between the minimal surfaces regarding isotropic dihedral angle energy, minimal surfaces regarding euclidean dihedral angle energy and Michell structures suggest that minimizing the dihedral angle energy not only leads to visually pleasing results but also gives physically optimized solutions.

hhttps://resolver.obvsg.at/urn:nbn:at:at-ubtuw:1-124662