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E. Nigsch, J. Vickers:
"Nonlinear generalized functions on manifolds";
Proceedings of the Royal Society A - Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 476 (2020), 20200640.

In this work, we adopt a new approach to the construction of a global theory of algebras of generalized functions on manifolds based on the concept of smoothing operators. This produces a generalization of previous theories in a form which is suitable for applications to differential geometry. The generalized Lie derivative is introduced and shown to extend the Lie derivative of Schwartz distributions. A new feature of this theory is the ability to define a covariant derivative of generalized scalar fields which extends the covariant derivative of distributions at the level of association. We end by sketching some applications of the theory. This work also lays the foundations for a nonlinear theory of distributional geometry that is developed in a subsequent paper that is based on Colombeau algebras of tensor distributions on manifolds.

In dieser Arbeit wenden wir einen neuen Ansatz, basierend auf dem Konzept von Glättungsoperatoren, zur Konstruktion einer globalen Theorie von Algebren verallgemeinerter Funktionen auf Mannigfaltigkeiten an. Dadurch erhalten wir eine Verallgemeinerung vorhergehender Theorien in einer Form, welche für differentialgeometrische Anwendungen geeignet ist. Die verallgemeinerte Lie-Ableitung wird eingeführt und es wird gezeigt, dass diese die Lie-Ableitung von Schwartz-Distributionen fortsetzt. Eine Besonderheit dieser Theorie besteht in der Möglichkeit, eine kovariante Ableitung verallgemeinerter Skalarfelder einzuführen, welche die kovariante Ableitung von Distributionen auf dem Level der Assoziation fortsetzt. Schlussendlich skizzieren wir einige Anwendungen dieser Theorie. Diese Arbeit legt weiters den Grundstein für eine nichtlineare Theorie distributioneller Geometrie basierend auf Colombeau-Algebren von Tensor-Distributionen auf Mannigfaltigkeiten, welche in einer nachfolgenden Arbeit entwickelt wird.

nonlinear generalized functions, Colombeau algebra, diffeomorphism invariant

http://dx.doi.org/10.1098/rspa.2020.0640