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E. Nigsch, J. Vickers:
"A nonlinear theory of distributional geometry";
Proceedings of the Royal Society A - Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 476 (2020), 20200642.

This paper builds on the theory of nonlinear generalized functions begun in Nigsch & Vickers (Nigsch, Vickers 2021 Proc. R. Soc. A 20200640 (doi:10.1098/rspa.2020.0640)) and extends this to a diffeomorphism-invariant nonlinear theory of generalized tensor fields with the sheaf property. The generalized Lie derivative is introduced and shown to commute with the embedding of distributional tensor fields and the generalized covariant derivative commutes with the embedding at the level of association. The concept of a generalized metric is introduced and used to develop a non-smooth theory of differential geometry. It is shown that the embedding of a continuous metric results in a generalized metric with well-defined connection and curvature and that for C2 metrics the embedding preserves the curvature at the level of association. Finally, we consider an example of a conical metric outside the Geroch-Traschen class and show that the curvature is associated to a delta function.

Diese Arbeit baut auf der Theorie nichtlinearer verallgemeinerter Funktionen auf, welche in
Nigsch & Vickers (Nigsch, Vickers 2021 Proc. R. Soc. A 20200640 (doi:10.1098/rspa.2020.0640)) initiiert wurde, und erweitert diese zu einer Diffeomorphismen-invarianten nichtlinearen Theorie verallgemeinerter Tensorfelder mit der Garbeneigenschaft. Die verallgemeinerte Lie-Ableitung wird eingeführt und es wird gezeigt, dass diese mit der Einbettung von distributionellen Tensorfeldern vertauscht und dass die verallgemeinerte kovariante Ableitung mit der Einbettung auf dem Level der Assoziation vertauscht. Das Konzept einer verallgemeinerten Metrik wird eingeführt und verwendet, um eine nicht-glatte Differentialgeometrie zu entwickeln. Es wird gezeigt, dass die Einbettung einer stetigen Metrik eine verallgemeinerte Metrik mit wohldefiniertem Zusammenhang sowie Krümmung ergibt, und dass für C2-Metriken die Einbettung die Krümmung auf dem Level der Assoziation erhält. Schlussendlich betrachten wir das Beispiel einer konischen Metrik außerhalb der Geroch-Traschen-Klasse und zeigen, dass ihre Krümmung zu einer Delta-Funktion assoziiert ist.

nonlinear generalized functions, tensor fields, distributional covariant derivative, distributional geometry, Colombeau algebra, diffeomorphism-invariant

http://dx.doi.org/10.1098/rspa.2020.0642