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M. Holzinger:
"Konforme Abbildungen zur Simulation von Modellen mit verteilten Parametern";
Supervisor, Reviewer: F. Breitenecker, T. Pawletta, D. Praetorius; Inst.f. Analysis und Scientific Computing, 2020; oral examination: 2020-04-29.

Purpose of the thesis is to demonstrate how conformal mappings can be utilized in simulation of twodimensional or symmetric three-dimensional Initial Boundary Value Problems. Parametrization of a 2D-region by means of the unit square is achieved when combining the analytically given map from unit square to unit disk with numerically constructed conformal transformations. The introduction of such special co-ordinates thus makes the usage of rectangular structured computational grids possible. On the other hand on such computational structures the method of lines can be used to transform a system of partial differential equations to a system of ordinary differential equations. The latter can be treated by standard methods available for systems with lumped parameters. All numerical computations are carried out by using the program Mathematica 11.3. Whilst the computational effort in calculating and saving the specific metric quantities caused by the transformation on each gridpoint has only to be done once for a given geometry, benefits especially arise with respect to, e.g., transformation of the Laplacian operator or the implementation of boundary conditions. That is, an outward pointing normal derivative always coincides with a tangent direction of a co-ordinate line. In the first chapter, for demonstration purposes an analytical series solution of a heat transfer problem on the unit square is presented and compared with the CTDS simulation solution on a rectangular computational grid as well as with the results obtained by Matlabs PDE-Toolbox. Conclusively, the spacial discretization method is essentially extended: regarding functions in two independent variables, a general construction guideline for substituting spatial derivatives of arbitrary order (including error estimates) is given. Furthermore, it is shown that boundary conditions can easily be implemented by using spacial approximation formulae for non-central grid points. Chapter two and three focus on the conformal transformation in theory and practice. A brief survey concerning the basics of complex analysis is followed by the presentation of Schwarz-Christoffel-type mappings which are being used to analytically establish the transformation from square to disk. Theodorsen´s integral equation is then considered to numerically construct a highly accurate solution for the function of boundary correspondence. The unit disk is subsequently being mapped with Mathematica to selected star-shaped regions such as square, inverted ellipse and three more general geometries satisfying an "-condition. In chapter four the basics for applying the conformal transformation of co-ordinates are being developed in the first two sections. Starting with a co-ordinate free formulation the differential operators for the particular case of a given conformal parametrization are examined, that is, composition of the numerically obtained conformal map with the Jacobi amplitude yields all further required metric quantities. In section four the proper implementation of boundary conditions is being investigated. Next, a heat conduction problem given on the unit disk is again solved analytically and compared with both the CTDS method and Matlabs PDE-Toolbox. Also, it is shown that with respect to the simulation results on the unit square, no further errors are introduced as long as calculation of the conformal metric is accurate enough. In chapter five the obtained results are applied to simulate the temperature distribution in the interior of a tooth treated with a laser source. The computational grid is mapped onto a regionrepresenting the dental cross section whose boundary can be described by means of interpolationof pre-given boundary points. Introduction of cylindrical co-ordinates yields a realistic model inthree dimensions where heat transfer from the interior dental region to surrounding media such as bone and air is modeled by appropriate boundary conditions whereas the heat source itself can be modeled by adding a dynamic source term to the equation. Taking the existence of microscopicdental channels into consideration, an extension of the heat equation finally introduces an isotropic and inhomogeneous heat conduction by means of the diffusion tensor. The epilogue comments on more recent developments concerning the FE-method, reports further investigations on other geometries and returns to Theodorsen´s equation concluding with remarkson possibilities to increase accuracy with respect to calculation of boundary correspondence.

Die vorliegende Arbeit soll aufzeigen, in welcher Weise die klassische konforme Abbildung zur Simulation ebener bzw. symmetrischer Anfangsrandwertprobleme nutzbringend eingesetzt werden kann. Die zugrunde liegende Methodik bedient sich dabei der Parametrisierung eines zweidimensionalen Gebietes durch das Einheitsquadrat, wobei der mit numerischen Methoden ermittelten konformen Abbildung die analytisch bekannte Transformation des Quadrates auf den Einheitskreis vorgeschaltet wird. Durch die derart bewerkstelligte Einführung geeigneter Koordinaten wird die Verwendung regelmäßiger Rechengitter ermöglicht. Auf diesen Gitterstrukturen leistet die Linienmethode zur Diskretisierung des Ortes eine Überführung der partiellen in ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen. Letztere werden mit Standardverfahren zur Integration im Zeitbereich gelöst. Für numerische Berechnungen wird durchgehend das Programm Mathematica 11.3 eingesetzt. Dem Mehraufwand der einmaligen numerischen Berechnung und Abspeicherung der durch die Einführung "konformer Koordinaten" bedingten, zusätzlich benötigten metrischen Größen in den Rechengitterpunkten stehen gravierende Vorteile gegenüber, die die Herangehensweise an derartige Problemstellungen rechtfertigen: Ausgehend von einer koordinatenfreien Formulierung verhält sich etwa der Laplace-Operator bis auf einen ortsabhängigen Faktor invariant unter der konformen Abbildung. Einfach gestaltet sich auch die Implementierung von Randbedingungen, da der nach außen gerichtete Einheitsnormalenvektor stets mit der Richtung einer Koordinatenlinie zusammenfällt. Zur Demonstration der prinzipiellen Vorgehensweise wird im ersten Kapitel eine analytische Lösung eines Wärmeleitungsproblems am Einheitsquadrat mittels Orthogonalreihenansatz entwickelt, das für alles weitere benötigte Rechengitter aufgesetzt und die darauf mit der CTDS-Methode gewonnene Simulationslösung mit der Reihenlösung und jener der FE-Methode von Matlabs PDE Toolbox verglichen. Es folgt die Angabe eines Konstruktionsverfahrens zur Diskretisierung von Ortsableitungen beliebiger Ordnung unter Berücksichtigung der Konvergenzordnung. Das zweite und dritte Kapitel widmen sich der konformen Abbildung in Theorie und Praxis. Nach Darlegung grundlegender Konzepte der Funktionentheorie werden die benötigten konstruktiven Verfahren vorgestellt: Abbildungen vom Schwarz-Christoffel-Typ für Polygonzüge stellen eine analytische Transformation des Quadrates auf den Kreis sicher, aus der Fülle der konstruktivenVerfahren wird sodann die Theodorsensche Integralgleichung aufgegriffen und mit den Mitteln einermodernen Programmierumgebung erfolgt die hochgenaue Berechnung der Ränderzuordnungsfunktion vom Einheitskreis auf sternförmige Gebiete nebst Fehlerbetrachtungen, und zwar für die gespiegelte Ellipse, das Einheitsquadrat selbst sowie drei allgemeinere Geometrien mit "-Bedingung .Im vierten Kapitel werden in den ersten beiden Abschnitten die Grundlagen zur Anwendungder konformen Koordinatentransformation vorbereitet, die nächsten beiden Abschnitte widmen sich der speziellen Gestalt der Metrik und den Randbedingungen. Da durch die Hintereinanderschaltung der numerisch ermittelten konformen Abbildung mit der Jacobischen Amplitudenfunktion die metrischen Größen der Transformation sämtlich bekannt sind, kann die Wärmeleitungsgleichung in den neuen Koordinaten simuliert werden. Für ein Problem am Einheitskreis wird dazu wieder eine Reihenlösung entwickelt, Zugänge zum Simulationsmodell werden für Kreis und Quadrat in den letzten beiden Abschnitten demonstriert und mit den exakten Lösungen verglichen. Das fünfte Kapitel verwertet die Ergebnisse zu einer Simulationsstudie: Ermittelt wird die Temperaturverteilung in einem mittels Laserquelle behandelten Zahn. Das Quadratgitter wird dazu konform auf den Zahnquerschnitt abgebildet, anschließend kann durch Einführung von Zylinderkoordinaten eine dreidimensionale Modellerweiterung realisiert werden. Die Wärmeabgabe in das umliegende Knochengewebe bzw. an die Luft wird durch geeignete Randbedingungen modelliert. Die Applikation der Wärmequelle mittels Laserimpuls findet in der Vorgabe eines Quellterms mit Maximum auf der Rotationsachse ihre Entsprechung. Abschließende theoretische Betrachtungen gelten der Verallgemeinerung der Wärmeleitungsgleichung, durch den Diffusionstensor können Anisotropien und Inhomogenitäten der Wärmeausbreitung Berücksichtigung finden. Der Epilog erarbeitet Abgrenzung zur und Argumente für die FE-Methode, berichtet über weitere Untersuchungen und betrachtet noch einmal die Theodorsengleichung hinsichtlich Genauigkeit.

Konforme Abbildung / PDE Lösungen

https://publik.tuwien.ac.at/files/publik_293274.pdf