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G. Schneckenreither:
"Fractional Diffusion by Random Walks on Hierarchical and Fractal Topological Structures";
Supervisor, Reviewer: F. Breitenecker, C. Kühn, P. Klimek; Institut für Analysis und Scientific Computing, 2020; oral examination: 2020-03-11.

A mathematical framework was developed for identifying certain topological configurations of heterogeneous systems as drivers for anomalous transport and diffusion. Two related formalizations of anomalous diffusion are by continuous time random walks and the fractional diffusion equation in the Caputo and Riesz-Feller sense. The mathematical transition of the random walk model to the fractional diffusion equation in the continuum limit was revised for the two-dimensional setting. A corresponding programming library for simulating and analyzing continuous time random walks was created. The library includes implementations of special probability distributions as well as empirical measures for quantifying random particle trajectories such as time average fractional displacement, local time and velocity autocorrelation. The topological structures investigated emerge from spatial block models that associate local aggregations of density with elevated interaction. From hierarchical and fractal arrangements of blocks, topological interaction mechanisms were constructed. A stochastic formalization of block structures and interaction led to spatial increment distributions that share the asymptotic characteristics of Lévy-stable probability distributions. Hence, a mathematical connection to fractional diffusion was established. For empirical evaluation, simulated topological random walk trajectories were analyzed and compared to continuous time random walks using the implemented empirical methods. The connection of anomalous dynamics and topological structuring aligns with other results and observations in heterogeneously connected system. For instance, in models of interacting populations, community structure in combination with frequent close proximity contacts and infrequent non-local outliers was identified as a crucial driver for complex and anomalous patterns. The results of this work could provide new possibilities for future research in this area.

Es wurde ein mathematischer Ansatz entwickelt um gewisse topologische Konfigurationen in heterogenen Systemen als Ursache für anomalen Transport und Diffusion Verantwortlich zu zeichnen. Zwei verwandte Formulierungen anomaler Diffusion sind Continuous Time Random Walks und die fraktionale Diffusionsgleichung im Caputo und Riesz-Feller Sinn. Der mathematische Übergang des Random Walk Modells zur fraktionalen Diffusionsgleichung wurde für den zweidimensionalen Fall ausgearbeitet und eine entsprechende Programmbibliothek für die Simulation und Analyse von Continous Time Random Walks wurde erstellt. Die Bibliothek beinhaltet Implementierungen von speziellen Wahrscheinlichkeitsverteilungen als auch von empirischen Maßen für die Quantifizierung von zufälligen Partikel-Trajektorien wie lokale Zeit, Zeit-gemittelte fraktionale Abweichung und Geschwindigkeits-Autokorrelation. Die untersuchten topologischen Strukturen sind das Resultat räumlicher Block-Modelle, welche lokale Aggregationen einer Dichte mit erhöhter Interaktion assoziieren. Aus hierarchischen und fraktalen Anordnungen von Blöcken wurden schließlich topologische Interaktionsmechanismen abgeleitet. Eine stochastische Formulierung der Block-Strukturen und der Interaktionsmechanismen führte weiters zu räumlichen Inkrement-Verteilungen, die die asymptotischen Eigenschaften von Lévy-stabilen Verteilungen aufweisen. Daraus folgt eine mathematische Verbindung zur fraktionalen Diffusionsgleichung. Zur empirischen Evaluation wurden simulierte topologische Random Walk Trajektorien anhand der implementierten empirischen Methoden analysiert und mit Continuous Time Random Walks verglichen. Die Verbindung zwischen anomalen Mustern und topologischer Strukturierung in dynamischen Systemen ist bekannt. Zum Beispiel wurde die Gruppenstruktur in Modellen interagierender Populationen in Kombination mit häufigen lokalen und seltenen nicht-lokalen Kontakten als Ursache für komplexe und anomale Muster erkannt. Die Resultate dieser Arbeit eröffnen neue Möglichkeiten für Untersuchungen in diesem Bereich.

Heterogene Dynamische Systeme / Fractional Diffusion Equation / Continuous Time Random Walk

https://publik.tuwien.ac.at/files/publik_293276.pdf